Rozwiąż nierówność 2x^2-3x>5

Rozwiąż nierówność \(2x^2-3x\gt5\).

Rozwiązanie

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy doprowadzić nierówność do postaci ogólnej, czyli musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$2x^2-3x\gt5 \\
2x^2-3x-5\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-3,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot2}=\frac{3-7}{4}=\frac{-4}{4}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot2}=\frac{3+7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-1\) oraz \(x=\frac{5}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:

matura z matematyki

Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{5}{2};+\infty\right)$$

Odpowiedź

\(x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{5}{2};+\infty\right)\)

Dodaj komentarz