Kąt alfa jest ostry i tg alfa=12/5. Wówczas sin alfa jest równy

Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{12}{5}\). Wówczas \(\sinα\) jest równy:

Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{12}{5} \\
\frac{sinα}{cosα}=\frac{12}{5}$$

Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$5sinα=12cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wynika, że \(sin^2α+cos^2α=1\). W poprzednim kroku udało nam się zapisać, że \(5sinα=12cosα\), czyli że \(cosα=\frac{5}{12}sinα\). W związku z tym:
$$sin^2α+\left(\frac{5}{12}sinα\right)^2+=1 \\
sin^2α+\frac{25}{144}sin^2α=1 \\
\frac{169}{144}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \\
sin^2α=\frac{144}{169} \\
sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(sinα=\frac{12}{13}\).

Odpowiedź

D

Dodaj komentarz