Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej to suma pól powierzchni wszystkich ścian danej bryły. W przypadku ostrosłupów będzie do suma pola podstawy oraz wszystkich ścian bocznych.

Wzór na pole powierzchni całkowitej zależy w dużej mierze od tego jaki to jest ostrosłup (zwłaszcza od tego co znajduje się w podstawie), ale w dużym uproszczeniu możemy zapisać, że:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b}$$

gdzie:
\(P_{c}\) – pole powierzchni całkowitej
\(P_{p}\) – pole podstawy
\(P_{b}\) – pole powierzchni bocznej (czyli suma wszystkich pól ścian bocznych)

Przykład 1. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość \(5\), a wysokość ściany bocznej jest równa \(8\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro ostrosłup jest prawidłowy, to w podstawie musi znaleźć się figura foremna. W naszym przypadku będzie to kwadrat, bo ostrosłup jest czworokątny. Cały rysunek wyglądałby mniej więcej w ten sposób:

pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie znajduje się kwadrat o boku \(5\), zatem możemy zapisać, że:
$$P_{p}=a\cdot a \\
P_{p}=5\cdot5 \\
P_{p}=25$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mamy \(4\) ściany boczne, a każda z nich jest trójkątem o podstawie \(5\) i wysokości \(8\). W związku z tym:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \\
P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot5\cdot8 \\
P_{b}=2\cdot5\cdot8 \\
P_{b}=80$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Znając pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej możemy bez problemu obliczyć pole powierzchni całkowitej:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=25+80 \\
P_{c}=105$$

Powyższy przykład był dość prosty, ale zazwyczaj z obliczaniem pola powierzchni całkowitej ostrosłupów spotykamy się z pewnymi trudnościami, których nie mieliśmy przy graniastosłupach. Bardzo często nie znamy wysokości ściany bocznej i na podstawie innych danych musimy ją samodzielnie wyznaczyć (np. korzystając z trygonometrii). Zróbmy sobie następujący przykład:

Przykład 2. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość \(12\), a wysokość bryły jest równa \(8\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie tę sytuację, zaznaczając przy okazji kluczowy trójkąt prostokątny z którego obliczymy brakującą wysokość ściany bocznej.

pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Spójrzmy na zaznaczony powyżej trójkąt prostokątny. To z niego wyliczymy długość ściany bocznej, która jest przeciwprostokątną tego trójkąta. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$6^2+8^2=h^2 \\
36+64=h^2 \\
h^2=100 \\
h=10 \quad\lor\quad h=-10$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna. W związku z tym zostaje nam \(h=10\).

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(12\), zatem:
$$P_{p}=a\cdot a \\
P_{p}=12\cdot12 \\
P_{p}=144$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mamy \(4\) ściany boczne, każda z nich jest trójkątem o podstawie \(12\) oraz wysokości \(10\), zatem:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \\
P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\cdot10 \\
P_{b}=2\cdot12\cdot10 \\
P_{b}=240$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Znając pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej możemy zapisać, że:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=144+240 \\
P_{c}=384$$

Przykład 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy ma długość \(6\), a krawędź boczna ma długość \(5\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy nasz ostrosłup, zaznaczając od razu informacje z treści zadania:

pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest to, że ostrosłup jest prawidłowy, bowiem wpływa to na dwie rzeczy:
1. W podstawie będziemy mieć figurę foremną (czyli w tym przypadku trójkąt równoboczny).
2. W ścianach bocznych będziemy mieć trójkąty równoramienne.

Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Korzystając z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że wysokość przecina nam podstawę na dwie równe części. W związku z tym będziemy mieć następującą sytuację:

pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

Na rysunku powstał nam trójkąt prostokątny w którym wysokość ściany bocznej jest przyprostokątną tego trójkąta. Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$3^2+h^2=5^2 \\
9+h^2=25 \\
h^2=16 \\
h=4 \quad\lor\quad h=-4$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna. W związku z tym zostaje nam \(h=4\).

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(8\), zatem korzystając ze wzoru na pole powierzchni trójkąta równobocznego otrzymamy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{36\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mamy \(3\) ściany boczne, każda z nich jest trójkątem o podstawie \(6\) oraz wysokości \(4\), zatem:
$$P_{b}=3\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot4 \\
P_{b}=3\cdot3\cdot4 \\
P_{b}=36$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Znając pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej możemy zapisać, że:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=9\sqrt{3}+36$$

Ewentualnie możemy jeszcze zapisać ładniej, że \(P_{c}=36+9\sqrt{3}\).

Dodaj komentarz