Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Marzec 2020 – Odpowiedzi

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie udziału procentowego soku pomidorowego.
Z diagramu możemy odczytać, że soki inne niż pomidorowy mają procentowy udział sprzedaży na poziomie \(37,5\%\), \(20\%\) oraz \(30\%\). Cały diagram to \(100\%\), zatem sprzedaż soku pomidorowego będzie stanowić:
$$100\%-37,5\%-20\%-30\%=12,5\%$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Szukamy liczby wszystkich sprzedanych kartonów soku, co możemy oznaczyć sobie jako \(x\). Wiemy już, że sok pomidorowy stanowi \(12,5\%\) wszystkich soków, czyli kartony z sokami pomidorowymi stanowią \(\frac{1}{8}x\). Z treści zadania wynika, że soków pomidorowych sprzedało się \(15\) kartonów, zatem:
$$\frac{1}{8}x=15 \\
x=120$$

Wyszło nam, że wszystkich soków sprzedano \(120\) kartonów, zatem zdanie jest fałszem.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Ustaliliśmy już, że wszystkich sprzedanych kartonów jest \(120\). Sok jabłkowy stanowi \(37,5\%\), czyli \(\frac{3}{8}\) tej ilości, zatem:
$$\frac{3}{8}\cdot120=45$$

Skoro więc soku pomidorowego sprzedano \(15\) kartonów, a soku jabłkowego \(45\), to faktycznie soku jabłkowego sprzedano o \(30\) kartonów więcej. Zdanie jest więc prawdą.

D

Krok 1. Ustalenie co może znaleźć się pod znakiem \(\#\), aby liczba była podzielna przez \(4\).
Liczba jest podzielna przez \(4\) tylko wtedy, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez \(4\). Sprawdźmy zatem kiedy nasza liczba będzie podzielną przez \(4\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(0\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(04\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(4\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(44\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(6\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(64\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(8\), to dwiema ostatnimi cyframi będą \(84\), czyli liczba będzie podzielna przez \(4\).

Możemy więc zaobserwować, że podstawiając dowolną cyfrę spośród proponowanych w odpowiedziach ABCD, uda nam się utworzyć liczbę podzielną przez \(4\).

Krok 2. Ustalenie kiedy liczba będzie niepodzielna przez \(3\).
Liczba jest podzielna przez \(3\) tylko wtedy, gdy suma jej cyfr daje liczbę podzielną przez \(3\). Analogicznie jeśli suma cyfr nie da liczby podzielnej przez \(3\), to liczba będzie niepodzielna przez \(3\) (taka sytuacja nas właśnie interesuje). Sprawdźmy zatem jak zachowa się nasza liczba podstawiając proponowane cyfry:
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(0\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+0+4=19\), czyli liczba jest niepodzielna przez \(3\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(4\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+4+4=23\), czyli liczba jest niepodzielna przez \(3\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(6\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+6+4=25\), czyli liczba jest niepodzielna przez \(3\).
Gdy pod \(\#\) wstawimy \(8\), to suma cyfr wyniesie: \(2+5+8+8+4=27\), czyli liczba jest podzielna przez \(3\), bo \(27:3=9\).

To oznacza, że jedyną cyfrą, która na pewno nie znalazła się pod znakiem \(\#\) jest \(8\), bo wtedy nasza liczba staje się podzielna przez \(3\).

B

Wartość naszego wyrażenia będzie równa:
$$\frac{4}{3}\cdot3-2^3=\frac{12}{3}-8=4-8=-4$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy obliczyć czas jazdy Karola oraz Matyldy, wtedy dowiemy się kto na metę dotarł szybciej. Przekształcając wzór \(v=\frac{s}{t}\) wyjdzie nam, że:
$$v=\frac{s}{t} \quad\bigg/\cdot t \\
vt=s \quad\bigg/:v \\
t=\frac{s}{v}$$

Teraz do tego wzoru musimy podstawić dane z treści zadania. Zacznijmy od Karola:
Karol jechał ze średnią prędkością \(v=20\frac{km}{h}\), a do pokonania miał trasę o długości \(s=10km\). W związku z tym:
$$t=\frac{10km}{20\frac{km}{h}} \\
t=\frac{1}{2}h$$

Karol przejechał trasę w \(\frac{1}{2}h\), czyli w \(30\) minut.

Teraz obliczmy czas jazdy Matyldy. Matylda jechała ze średnią prędkością \(v=15\frac{km}{h}\), a do pokonania miała trasę o długości \(s=6km\). W związku z tym:
$$t=\frac{6km}{15\frac{km}{h}} \\
t=\frac{2}{5}h$$

Matylda przejechała trasę w \(\frac{2}{5}h\). Skoro godzina ma \(60\) minut, to będzie to czas równy czyli w \(\frac{2}{5}\cdot60=24\) minuty.

To oznacza, że pierwsze zdanie jest fałszem, bo to Matylda przyjechała wcześniej.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Skoro Matylda wyruszyła o godzinie \(10{:}00\), a czas jej jazdy wyniósł \(24\) minuty, to faktycznie w miejscowości \(B\) była o godzinie \(10{:}24\). Zdanie jest więc prawdą.

A

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie sprawdzić ile minut ćwiczeń wykonała Ola w każdym cyklu. Wiemy, że Ola opuściła \(2\) minuty pierwszego cyklu, czyli tutaj wykonała \(15-2=13\) minut ćwiczeń. Drugi cykl wykonała cały, więc doliczamy jej \(15\) minut. W trzecim cyklu Ola opuściła \(7\) minut, zatem wykonała \(15-7=8\) minut ćwiczeń.

To oznacza, że Ola ćwiczyła łącznie przez \(13+15+8=36\) minut.

D

Nie znamy wieku każdego z bliźniaków, więc możemy zapisać, że każdy z nich ma \(x\) lat. Wiemy też, że Oskar ma o \(6\) lat więcej od każdego z bliźniaków, zatem ma on \(x+6\) lat. Skoro więc cała trójka dzieci ma łącznie \(42\) lata, to otrzymamy następujące równanie:
$$x+x+(x+6)=42 \\
3x+6=42 \\
3x=36 \\
x=12$$

To oznacza, że każdy z bliźniaków ma \(12\) lat.

D

Krok 1. Ustalenie wartości liczbowych na widocznej stronie pierwszego i drugiego żetonu.
Ustalmy najpierw jaka jest wartość liczbowa na stronach żetonów, które widzimy na rysunku.

Pierwszy żeton jest bardzo podchwytliwy, bowiem \(-5^2\) jest równe \(-25\). Dlaczego akurat tyle? Tutaj warto zauważyć, że do potęgi podnoszona jest jedynie piątka, a minus przed nią należy przepisać. Gdybyśmy mieli zapis \((-5)^2\), to wtedy wartość liczbowa byłaby równa \(25\).

Drugi żeton jest już prostszy, bowiem \((-2)^3=-8\).

Krok 2. Ustalenie wartości liczbowych na niewidocznych stronach żetonów.
Chcemy by suma na widocznej i niewidocznej stronie była równa \(0\), czyli tak naprawdę szukamy liczb przeciwnych do tych, które znalazły się na widocznej stronie żetonu.
I żeton - liczbą przeciwną do \(-25\) jest \(25\).
II żeton - liczbą przeciwną do \(-8\) jest \(8\).

Stąd też na niewidocznych stronach muszą znaleźć się liczby \(25\) oraz \(8\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni trójkątów \(PAB\) oraz \(PAC\).
Zacznijmy od obliczenia pola powierzchni trójkąta \(PAB\). Widzimy wyraźnie (licząc po kratkach), że podstawa tego trójkąta ma długość \(a=7\), natomiast wysokość ma długość \(h=3\) (wysokość to w tym przypadku odległość od wierzchołka \(B\) do osi iksów). To oznacza, że pole tego trójkąta jest równe:
$$P_{PAB}=\frac{1}{2}ah \\
P_{PAB}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot3 \\
P_{PAB}=10,5$$

Teraz obliczmy pole trójkąta \(PAC\). Tutaj także podstawa ma długość \(a=7\), natomiast wysokość ma długość \(h=3\) (jest to odległość od wierzchołka \(C\) do osi iksów). Pole tego trójkąta będzie więc równe:
$$P_{PAC}=\frac{1}{2}ah \\
P_{PAC}=\frac{1}{2}\cdot7\cdot3 \\
P_{PAC}=10,5$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z obliczeń wykonanych w pierwszym kroku wynika, że faktycznie pola powierzchni tych dwóch trójkątów są sobie równe, zatem to zdanie jest prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Pole trójkąta \(ABC\) jest sumą pól trójkątów \(PAB\) oraz \(PAC\), zatem:
$$P_{ABC}=P_{PAB}+P_{PAC} \\
P_{ABC}=10,5+10,5 \\
P_{ABC}=21$$

To oznacza, że zdanie jest prawdą.

C

Zadanie można rozwiązać na wiele sposobów, ale spróbujmy to przeanalizować jak najbardziej matematycznie. Jeżeli stosunek długości boków ma być równy \(3:4:5\), to nasze odcinki muszą mieć długość \(3x\), \(4x\) oraz \(5x\). Krótko mówiąc - każdy kolejny bok musi być tyle samo razy większy od trójki, czwórki lub piątki.

Jeżeli więc pierwszy odcinek miałby mieć długość \(6\) (co jest wartością dwa razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(8\) (czyli dwa razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(10\) (czyli dwa razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(6,8,10\) są więc jak najbardziej poprawne.

Jeżeli pierwszy odcinek miałby mieć długość \(9\) (co jest wartością trzy razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(12\) (czyli trzy razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(15\) (czyli trzy razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(9,12,15\) są więc jak najbardziej poprawne.

Jeżeli pierwszy odcinek miałby mieć długość \(12\) (co jest wartością cztery razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(16\) (czyli cztery razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(20\) (czyli cztery razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(12,20,25\) są więc niepoprawne (powinno to być \(12,16,20\)).

Jeżeli pierwszy odcinek miałby mieć długość \(21\) (co jest wartością siedem razy większą od \(3\)), to drugi odcinek musi mieć długość \(28\) (czyli siedem razy więcej niż \(4\)), a trzeci odcinek musi mieć długość \(35\) (czyli siedem razy więcej niż \(5\)). Wymiary \(21,28,35\) są więc jak najbardziej poprawne.

C

Przeanalizujmy treść zadania. Wiemy, że jeden tulipan kosztuje \(1,2zł\). Skoro więc sprzedawca kupił \(t\) tulipanów, to zapłacił za nie \(1,2\cdot t\) złotych. Teraz spójrzmy na róże. Jedna róża kosztuje \(4zł\), a sprzedawca kupił tych róż o \(50\) mniej niż tulipanów (bo z treści zadania wynika, że tulipanów jest o \(50\) więcej niż róż). Można więc powiedzieć, że sprzedawca kupił \(t-50\) róż, czyli zapłacił za nie \(4\cdot(t-50)\). Teraz wydatki na tulipany i róże musimy zsumować i wiemy, że ta suma jest równa \(580zł\), stąd też otrzymamy równanie \(1,2t+4(t-50)=580\).

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
To zdanie jest prawdą, bo jest to po prostu jedna z własności równoległoboków. W równoległobokach kąty przy jednym ramieniu mają zawsze łącznie \(180°\).

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Obliczmy najpierw miarę kąta \(α\). Kąt \(α\) jest kątem przyległym do kąta o mierze \(135°\), a z własności kątów przyległych wiemy, że suma ich miar jest równa \(180°\). W związku z tym:
$$α=180°-135°=45°$$

Wiemy już, że suma miar kątów \(α\) i \(β\) wynosi \(180°\), zatem kąt \(β\) będzie miał miarę:
$$β=180°-45°=135°$$

To oznacza, że faktycznie kąt \(α\) ma miarę \(3\) razy mniejszą od kąta \(β\), bowiem \(135°:3=45°\).

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Jeżeli jest to trójkąt równoramienny, to kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Możemy więc przyjąć, że zarówno kąt \(KLM\) jak i \(MKL\) mają miarę \(α\). Z treści zadania wynika, że kąt między ramionami, czyli kąt \(KML\), jest dwa razy większy, zatem ma on miarę \(2α\). Skoro więc suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to otrzymamy równanie:
$$α+α+2α=180° \\
4α=180° \\
α=45°$$

Zgodnie z naszymi oznaczeniami kąt \(KLM\) to kąt o mierze \(α\), czyli ma on miarę \(45°\).

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Kontynuując obliczenia z poprzedniego kroku widzimy, że skoro \(α=45°\), a nasz kąt \(KML\) ma miarę \(2α\), to miara tego kąta jest równa \(2\cdot45°=90°\). To oznacza, że nasz trójkąt jest trójkątem prostokątnym.

C

Zadanie wymaga od nas dobrej spostrzegawczości. Zauważmy, że pierwszy trójkąt składa się z \(1\) małego trójkącika, drugi trójkąt ma \(4\) małe trójkąciki, a trzeci trójkąt ma \(9\) małych trójkącików. Powinniśmy w tym momencie dostrzec, że liczba trójkącików jest równa długości podstawy podniesionej do potęgi drugiej. Stąd też przykładowo trójkąt o podstawie równej \(3\) miał \(3^2=9\) małych trójkącików.

Ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że w takim razie trójkąt o podstawie równej \(5\) będzie miał \(5^2=25\) małych trójkącików.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Powinniśmy dostrzec, że łącząc punkt \(S\) z punktami \(A\) oraz \(B\) powstanie nam następujący trójkąt równoramienny \(ABS\):


Skąd wiemy, że jest to trójkąt równoramienny? Wynika to z tego, że długości promienia są jednakowe, czyli tym samym ramiona \(AS\) oraz \(BS\) mają tą samą długość. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że ich wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, stąd też odcinek \(AB\) o długości \(8cm\) mogliśmy sobie podzielić na dwie części \(AP\) oraz \(PB\), które mają długość równą \(4cm\).

Po dorysowaniu wysokości powstały nam więc dwa trójkąty prostokątne i to właśnie z nich będziemy mogli za chwilę obliczyć poszukiwane długości.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Musimy obliczyć długość odległość od punktu \(S\) do odcinka \(AB\), czyli długość odcinka \(SP\). Powinniśmy już dostrzec, że jest to klasyczny trójkąt prostokątny o bokach \(3cm,4cm,5cm\), ale jeśli tego nie widzimy, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$|SP|^2+4^2=5^2 \\
|SP|^2+16=25 \\
|SP|^2=9 \\
|SP|=3 \quad\lor\quad |SP|=-3$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|SP|=3cm\), co oznacza, że to zdanie jest prawdą.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Obwód trójkąta \(ASB\) jest równy:
$$Obw=8cm+5cm+5cm \\
Obw=18cm$$

To zdanie jest więc fałszem.

C

Skoro średnia dwóch ocen Janka jest równa \(3,5\), to suma jego ocen będzie równa \(7\), bo \(3,5\cdot2=7\). Chcemy, by dopisując trzecią ocenę (niech to będzie ocena \(x\)), średnia ocen wyniosła \(4\). Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną możemy zapisać, że:
$$\frac{7+x}{3}=4 \\
7+x=12 \\
x=5$$

To oznacza, że Janek musi otrzymać piątkę.

Każdy z Panów przejechał trasę o długości \(6km\).

Krok 1. Ułożenie równań do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że Pan Jan i Pan Wojciech przejechali trasę o jednakowej długości. Oznaczmy więc sobie liczbę pokonanych kilometrów jako niewiadomą \(x\).

Teraz naszym zadaniem jest ułożenie odpowiednich równań. Zacznijmy od Pana Jana i taksówki "Jedynka". Opłata początkowa jest równa \(3,2zł\), a do tego za każdy przejechany kilometr opłata wzrasta o kolejne \(3,2zł\). Skoro więc Pan Jan przejechał \(x\) kilometrów, to możemy zapisać, że koszt jego jazdy wyniósł:
$$3,2+3,2\cdot x$$

Podobnie możemy rozpatrzeć jazdę Pana Wojciecha w taksówce "Dwójka". Tutaj opłata początkowa jest równa \(8zł\), a za każdy przejechany kilometr opłata wzrasta o kolejne \(2,4zł\). Skoro więc Pan Wojciech przejechał \(x\) kilometrów, to możemy zapisać, że koszt jego jazdy wyniósł:
$$8+2,4\cdot x$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Z treści zadania wynika, że Pan Jan i Pan Wojciech zapłacili za swój kurs jednakową kwotę. To oznacza, że między wyrażeniem \(3,2+3,2\cdot x\) oraz \(8+2,4\cdot x\) możemy postawić znak równości. Skoro tak, to:
$$3,2+3,2\cdot x=8+2,4\cdot x \quad\bigg/-3,2 \\
3,2x=4,8+2,4x \quad\bigg/-2,4x \\
0,8x=4,8 \\
x=6$$

To oznacza, że każdy z Panów przejechał trasę o długości \(6km\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy metodą "prób i błędów" obliczysz koszt przejazdu taksówkami jednej i drugiej firmy dla przynajmniej dwóch różnych długości.
LUB
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(1\) kilogram tej mieszanki kosztuje \(15zł\).

Krok 1. Obliczenie wartości rodzynek.
W zadaniu musimy pamiętać, że \(1\) kilogram to \(100dag\). Aby dowiedzieć się ile kosztuje cała mieszanka musimy obliczyć wartość każdego z produktów, czyli wartość rodzynek oraz pestek. Zacznijmy od rodzynek. Skoro w mieszance znajduje się \(40dag\) rodzynek, to wiemy już że jest to \(0,4kg\). Cena za kilogram tego produktu to \(12zł\), zatem wartość rodzynek jest równa:
$$0,4\cdot12zł=4,8zł$$

Krok 2. Obliczenie wartości pestek dyni.
Analogicznie jak w przypadku rodzynek, musimy zapisać, że pestek dyni mamy \(60dag\), czyli \(0,6kg\). Skoro kilogram tych pestek kosztuje \(17zł\), to wartość tego produktu wyniesie:
$$0,6\cdot17zł=10,2zł$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(1\) kilograma mieszanki.
Na koniec musimy dodać wartość rodzynek oraz pestek, zatem:
$$4,8zł+10,2zł=15zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz koszt \(40dag\) lub \(4kg\) rodzynek (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy obliczysz koszt \(60dag\) lub \(6kg\) pestek dyni (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Udowodniono obliczając długość każdego boku.

Krok 1. Analiza treści zadania.
Zastanówmy się co tak naprawdę musimy udowodnić i w jaki sposób możemy to zrobić. Naszym zadaniem jest udowodnienie, że gdy obwód tej figury jest równy \(100cm\), to figura jest rombem - czyli krótko mówiąc, jest czworokątem który ma wszystkie boki równej długości. Spróbujmy więc sprawdzić jaka jest wartość niewiadomej \(x\), gdy obwód tej figury jest równy \(100cm\). Poznanie tej wartości \(x\) pozwoli nam w dalszych krokach obliczyć długość każdego z boków.

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Jeżeli zsumujemy długości wszystkich boków i zapiszemy, że obwód jest równy \(100cm\), to otrzymamy następujące równanie:
$$\left(\frac{1}{2}x+15\right)+\left(\frac{3}{2}x-5\right)+(x+5)+(2x-15)=100$$

Oczywiście nie ma potrzeby zapisywania tych wszystkich nawiasów, ale warto to zrobić by się nie pogubić w całym zapisie. Spróbujmy teraz rozwiązać nasze równanie. Zwróć uwagę, że tak naprawdę wartości liczbowe nam się skrócą, bo raz mamy \(+15\), potem \(-15\), raz mamy \(-5\), potem \(5\). Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$\frac{1}{2}x+15+\frac{3}{2}x-5+x+5+2x-15=100 \\
5x=100 \\
x=20[cm]$$

Krok 3. Obliczenie długości każdego z boków czworokąta.
Podstawmy teraz do każdego z wyrażeń wartość \(x=20\). Zaczynając od dolnego boku:
I bok: \(\frac{1}{2}\cdot20+15=10+15=25[cm]\)
II bok: \(\frac{3}{2}\cdot20-5=30-5=25[cm]\)
III bok: \(20+5=25[cm]\)
IV bok: \(2\cdot20-15=40-15=25[cm]\)

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Wyszło nam, że gdy obwód tego czworokąta jest równy \(100cm\), to każdy z boków ma długość \(25cm\). To oznacza, że nasza figura jest faktycznie rombem, a to właśnie należało udowodnić.

A tak na marginesie - czy mamy pewność, że ta figura jest przy okazji kwadratem, skoro ma wszystkie boki równej długości? A no niestety takiej pewności nie mamy, bo nie wiemy, czy kąty między poszczególnymi bokami są kątami prostymi. Stąd też właśnie jesteśmy w stanie udowodnić, że ten czworokąt jest rombem, ale nie jesteśmy w stanie udowodnić, że będzie to kwadrat.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie składające się z sumy czterech boków czworokąta (patrz: Krok 2.).
LUB
• Gdy zapiszesz cztery oddzielne równania typu \(\frac{1}{2}x+15=25\) lub \(x+5=25\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Prędkość jazdy w drodze powrotnej była większa o \(12\frac{km}{h}\).

Krok 1. Obliczenie średniej prędkości jazdy.
Pan Kazimierz przejechał trasę \(90km\) w czasie \(1,5h\), zatem jego średnia prędkość jazdy wyniosła:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{90km}{1,5h} \\
v=60\frac{km}{h}$$

Krok 2. Obliczenie średniej prędkości jazdy w drodze powrotnej.
W drodze powrotnej Pan Kazimierz pokonał trasę o \(15\) minut szybciej. Skoro początkowo przejechał trasę w \(1,5h\) (czyli \(90\) minut), to w drodze powrotnej przejechał ten dystans w \(90-15=75\) minut. Musimy jeszcze te minuty zamienić na godziny, a więc możemy zapisać, że \(75\) minut to \(1,25h\). Długość trasy się nie zmieniła, nadal \(s=90km\), zatem możemy już przystąpić do liczenia średniej prędkości jazdy w drodze powrotnej:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{90km}{1,25h} \\
v=72\frac{km}{h}$$

Krok 3. Obliczenie o ile wzrosła średnia prędkość jazdy w drodze powrotnej.
Skoro na początku średnia prędkość wyniosła \(60\frac{km}{h}\), a w drodze powrotnej było to już \(72\frac{km}{h}\), to średnia prędkość jazdy Pana Kazimierza wzrosła o:
$$72\frac{km}{h}-60\frac{km}{h}=12\frac{km}{h}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średnią prędkość na trasie w jedną stronę (patrz: Krok 1. lub Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz średnią prędkość na trasie w jedną i drugą stronę (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(P=12cm^2\)

Krok 1. Obliczenie długości dolnej i górnej podstawy.
Zacznijmy od obliczenia długości górnej podstawy, czyli odcinka \(CD\). Wiemy, że jest to odcinek \(2\) razy dłuższy od odcinka \(AE\), zatem:
$$|CD|=2\cdot4cm \\
|CD|=8cm$$

Nasz trapez jest równoramienny, zatem jakbyśmy od punktu \(C\) poprowadzili wysokość, która przetnie odcinek \(AB\) w punkcie \(F\), to otrzymamy odcinek \(FB\), który będzie równy odcinkowi \(AE\), czyli także będzie miał on długość \(4cm\).


To z kolei oznacza, że dolna podstawa \(AB\) będzie mieć długość:
$$|AB|=4cm+8cm+4cm \\
|AB|=16cm$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu (czyli długości odcinka \(ED\)).
Wiemy już, że dolna podstawa ma długość \(a=16cm\), górna ma długość \(b=8cm\), a pole trapezu jest równe \(P=72cm^2\). Korzystając więc ze wzoru na pole trapezu możemy bez przeszkód obliczyć wysokość naszej figury:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
72cm^2=\frac{1}{2}\cdot(16cm+8cm)\cdot h \\
72cm^2=\frac{1}{2}\cdot24cm\cdot h \\
72cm^2=12cm\cdot h \\
h=6cm$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(AED\).
Wiemy już, że wysokość trapezu wynosi \(6cm\), czyli \(|ED|=6cm\). Dolna przyprostokątna \(|AE|\) ma długość \(4cm\), zatem pole trójkąta \(AED\) będzie równe:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot4cm\cdot6cm \\
P=12cm^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy w poprawny sposób będziesz obliczać pole trójkąta \(AED\) (patrz: Krok 3.), ale otrzymany wynik będzie błędny np. ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Czekoladki stanowią \(20\%\) objętości pudełka.

Krok 1. Obliczenie objętości pojedynczej czekoladki.
Każda czekoladka jest prostopadłościanem o wymiarach \(2cm\times2cm\times1,5cm\), zatem objętość takiej pojedynczej czekoladki będzie równa:
$$V=abc \\
V=2cm\cdot2cm\cdot1,5cm \\
V=6cm^3$$

Krok 2. Obliczenie objętości wszystkich czekoladek.
W pudełku mamy \(32\) czekoladki. Każda z nich ma objętość \(V=6cm^3\), zatem objętość tych wszystkich czekoladek wyniesie:
$$V_{czekoladek}=32\cdot6cm^3 \\
V_{czekoladek}=192cm^3$$

Krok 3. Obliczenie objętości całego pudełka.
Nasze pudełko ma wymiary \(16cm\times24cm\times2,5cm\), zatem jego objętość będzie równa:
$$V_{pudełka}=16cm\cdot24cm\cdot2,5cm \\
V_{pudełka}=960cm^3$$

Krok 4. Obliczenie ile procent objętości pudełka stanowią wszystkie czekoladki.
Na koniec musimy ustalić ile procent objętości pudełka będą stanowić nasze czekoladki. Skoro czekoladki mają objętość równą \(192cm^3\), a całe pudełko ma \(960cm^3\), to czekoladki stanowią:
$$\frac{192cm^3}{960cm^3}=\frac{1}{5}=20\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz objętość pojedynczej czekoladki (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy poprawnie obliczysz objętość pudełka (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.