Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie

Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie
Dwusieczna kąta w trójkącie dzieli przeciwległy bok na odcinki, których długość jest proporcjonalna do długości pozostałych boków.
twierdzenie o dwusiecznej kąta

Zgodnie z twierdzeniem o dwusiecznej kąta w trójkącie, moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{|AD|}{|DB|}=\frac{|AC|}{|BC|}$$

Mówiąc bardziej obrazowo – gdyby się okazało, że przykładowo bok \(AC\) jest dwa razy dłuższy od boku \(BC\), to analogicznie odcinek \(AD\) będzie dwa razy dłuższy od odcinka \(DB\).

I od razu sprawdźmy, jak to twierdzenie wykorzystywane jest w praktyce:

Przykład 1. W trójkącie \(KLM\) poprowadzono dwusieczną kąta \(LKM\), która podzieliła bok \(LM\) na dwa odcinki: \(LS\) oraz \(SM\) (patrz rysunek). Oblicz długość odcinka \(LS\).
twierdzenie o dwusiecznej kąta

Rozwiązanie:
W tym zadaniu skorzystamy oczywiście z twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie. Stosunek długości odcinków powstałych na boku \(LM\) musi być taki sam jak stosunek długości boków, które tworzą kąt z którego poprowadzoną dwusieczną. Zapisalibyśmy więc, że:
$$\frac{|LS|}{5}=\frac{7}{8}$$

Jak rozwiązać to równanie? Możemy oczywiście zastosować tutaj mnożenie na krzyż, ale jeszcze prościej będzie po prostu całość wymnożyć obustronnie przez \(5\), dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{|LS|}{5}=\frac{7}{8} \quad\bigg/\cdot5 \\
|LS|=\frac{7}{8}\cdot5 \\
|LS|=\frac{35}{8}=4\frac{3}{8}$$

Przykład 2. Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym |\(AC|=11\) oraz \(|BC|=16\). Z wierzchołka \(C\) poprowadzono dwusieczną kąta wewnętrznego, która przecina bok \(AB\) na dwa odcinki, z których jeden jest o \(3\) większy od drugiego. Oblicz miarę boku \(AB\).

Rozwiązanie:
W tego typu zadaniach bardzo pomocny będzie rysunek pomocniczy. Jeżeli jeden odcinek jest o \(3\) większy od drugiego, to miary tych odcinków możemy opisać jako \(x\) oraz \(x+3\). To oznacza, że sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten oto sposób:
twierdzenie o dwusiecznej kąta

Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej kąta moglibyśmy zapisać następujące równanie:
$$\frac{x}{x+3}=\frac{11}{16}$$

Chcąc rozwiązać to równanie najprościej będzie wykonać tzw. mnożenie na krzyż, zatem:
$$x\cdot16=(x+3)\cdot11 \\
16x=11x+33 \\
5x=33 \\
x=6,6$$

Ale uwaga, to jeszcze nie koniec zadania. Obliczyliśmy dopiero, że \(x=6,6\), a celem zadania jest obliczenie całej długości boku \(AB\), który jest sumą odcinków o długości \(x\) oraz \(x+3\). Moglibyśmy więc zapisać, że bok \(AB\) ma długość:
$$|AB|=x+x+3 \\
|AB|=6,6+6,6+3 \\
|AB|=16,2$$

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments