Jacek bawi się sześciennymi klockami o krawędzi \(2cm\). Zbudował z nich jeden duży sześcian o krawędzi \(8cm\) i wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę i ułożył z tych klocków drugą bryłę – graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wtedy okazało się, że został mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni całkowitej drugiej bryły i wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Najpierw obliczmy objętość pojedynczego klocka, będzie to:
$$V=(2cm)^3=8cm^3$$
Teraz obliczmy objętość pierwszej bryły jaką ułożył Jacek, czyli sześciokąta o boku długości \(8cm\):
$$V=(8cm)^3=512cm^3$$
Skoro do ułożenia tego sześciokąta Jacek wykorzystał wszystkie swoje klocki, to znaczy że tych klocków ma:
$$512cm^3:8cm^3=64$$
Z treści zadania wynika, że Jacek do budowy graniastosłupa użył \(63\) klocków (bo jeden klocek został mu wolny).
Skoro Jacek ułożył graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że ułożył bryłę która ma w podstawie kwadrat. Krótko mówiąc, podstawa (czyli tak jakby pierwsza warstwy bryły) musi wyglądać w taki sposób, że mamy np. \(2\) na \(2\) klocki, albo \(5\) na \(5\) klocków itd. W związku z tym do ułożenia samej podstawy Jacek musiał użyć np. \(1, 4, 9, 16, 25, 36\) lub \(49\) klocków. Innych możliwości nie ma, bo musi to być kwadrat liczby naturalnej.
W zasadzie możemy odrzucić wariant, w którym w podstawie jest jeden klocek (czyli byłaby to wieża wysoka na \(63\) klocki), bo gdyby tak wyglądała ta bryła, to przecież nie byłoby problemu dostawić także \(64\)-ty klocek na samą górę.
Musimy więc teraz sprawdzić, która z liczb \(4, 9, 16, 25, 36\) czy \(49\) jest dzielnikiem liczby \(63\). Taką liczbą jest jedynie \(9\), a więc wiemy już, że graniastosłup ma w podstawie \(3\times3\) klocki i jest wysoki na \(7\) klocków.
Z treści zadania wiemy, że sześcian ma długość \(8cm\), zatem skoro każda ściana sześcianu ma powierzchnię \(P=8cm\cdot8cm\) i takich ścian mamy \(6\), to pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe:
$$P_{S}=6\cdot8^2 \\
P_{S}=6\cdot64 \\
P_{S}=384[cm^2]$$
Teraz musimy ustalić wymiary graniastosłupa. Skoro wymiary w klockach możemy wyrazić jako \(3\times3\times7\) klocków, a każdy klocek ma \(2cm\), to wymiary graniastosłupa w centymetrach będą następujące: \(6cm\times6cm\times14cm\). Czyli mamy dwie podstawy o powierzchni \(P_{p}=6cm\cdot6cm\) oraz cztery ściany boczne o powierzchni \(P_{b}=6cm\cdot14cm\). To oznacza, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe:
$$P_{G}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{G}=2\cdot6^2+4\cdot(6\cdot14) \\
P_{G}=2\cdot36+4\cdot84 \\
P_{G}=72+336 \\
P_{G}=408[cm^2]$$
Na sam koniec musimy jeszcze obliczyć stosunek tych pól powierzchni:
$$\frac{P_{S}}{P_{G}}=\frac{384cm^2}{408cm^2}=\frac{16}{17}$$
\(\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{16}{17}\)

bardzo fajny poradnik, pozdrawiam