Matura – Matematyka – Lipiec 2020

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Wielomian jest podany w bardzo wygodnej postaci iloczynowej, zatem aby poznać jego miejsca zerowe wystarczy przyrównać wartości z nawiasów do zera:
$$2x+5=0 \quad\lor\quad 3x-1=0 \\
2x=-5 \quad\lor\quad 3x=1 \\
x=-2\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=\frac{1}{3}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Standardowo zaznaczamy na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\). Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo przed nawiasami nie mamy żadnego minusa, a i same niewiadome \(x\) są dodatnie:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesują nas wartości większe lub równe zero, zatem \(x\in(-\infty;-2\frac{1}{2}\rangle\cup\langle\frac{1}{3};+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość liczby \(a\) lub \(b\) (patrz: Krok 1. lub 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Dane są liczby \(a=3log_{2}12-log_{2}27\) i \(b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})\). Wartością \(a-b\) jest liczba całkowita. Oblicz tę liczbę.

Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(a\).
Obliczmy każdą z liczb po kolei, zaczynając od liczby \(a\). Korzystając z działań na logarytmach możemy przenieść trójkę znajdującą się z przodu w miejsce wykładnika potęgi logarytmowanej. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$a=3log_{2}12-log_{2}27=log_{2}12^3-log_{2}27= \\
=log_{2}1728-log_{2}27=log_{2}\left(\frac{1728}{27}\right)=log_{2}64=6$$

Jeżeli nie widzimy tego, że \(log_{2}64=6\) to zawsze możemy skorzystać z definicji logarytmów i ułożyć odpowiednie równanie:
$$log_{2}64=x \quad\Leftrightarrow\quad 2^x=64$$

Aby rozwiązać równanie \(2^x=64\) musimy sprowadzić obydwie strony równania do jednakowej podstawy potęgi, a następnie będziemy mogli porównać wykładniki. Wiedząc, że \(64\) to \(2^6\), otrzymamy:
$$2^x=64 \\
2^x=2^6 \\
x=6$$

Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(b\).
Wymnażając przez siebie liczby w nawiasach, otrzymamy:
$$b=(\sqrt{6}-\sqrt{7})(3\sqrt{6}+3\sqrt{7})= \\
=3\cdot6+3\sqrt{42}-3\sqrt{42}-3\cdot7=18-21=-3$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(a-b\).
Znając wartości liczb \(a\) oraz \(b\), zostało nam już tylko dopełnienie formalności i obliczenie wartości podanego wyrażenia:
$$a-b=6-(-3)=6+3=9$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci iloczynowej typu \((a-4)(b-4)\gt0\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Rozpisanie podanej nierówności.
Pierwszą rzeczą, która nasuwa się przy nierówności \(ab+16\gt4a+4b\), jest przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę. Tak też właśnie zróbmy, dzięki czemu otrzymamy:
$$ab-4a-4b+16\gt0$$

Powinniśmy teraz zauważyć, że wartość po lewej stronie nierówności da się rozpisać, wyłączając wspólne czynniki przed nawias:
$$ab-4a-4b+16\gt0 \\
a(b-4)-4(b-4)\gt0 \\
(a-4)(b-4)\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(a\lt4\), czyli \(a-4\lt0\). Analogicznie \(b\lt4\), czyli \(b-4\lt0\). Skoro tak, to iloczyn \((a-4)(b-4)\) musi być dodatni, bowiem pomnożenie liczby ujemnej przez ujemną daje wynik większy od zera. To oznacza, że nierówność \((a-4)(b-4)\gt0\) jest jak najbardziej poprawna, co też należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykażesz podobieństwo trójkątów \(ABC\) i \(SBE\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy uzasadnisz, że proste \(AC\) i \(SD\) są równoległe.
ALBO
• Gdy uzasadnisz, że łuki \(BD\) oraz \(DC\) mają jednakową długość.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Dostrzeżenie kluczowych własności trójkątów \(ABC\) oraz \(ASD\).
Aby poradzić sobie z tym zadaniem, musimy dostrzec kilka ważnych informacji, które wynikają z własności trójkątów i okręgów. Pierwszą ważną obserwacją jest to, iż trójkąt \(ABC\) jest na pewno trójkątem prostokątnym (wynika to wprost z własności okręgów opartych na trójkącie, gdyż przeciwprostokątna \(AB\) jest jednocześnie średnicą okręgu). Drugą obserwacją jest to, iż trójkąt \(ASD\) jest równoramienny, gdyż odcinki \(AS\) oraz \(SD\) są jednakowej długości, która jest równa promieniu okręgu.

Jakby tego było mało, to powinniśmy dostrzec, że trójkąt \(ABC\) jest trójkątem podobnym do trójkąta prostokątnego, który ma podstawę opisaną jako \(SB\). Skąd wiemy, że te trójkąty są podobne? Mają one jednakowy kąt przy wierzchołku \(B\), a także obydwa mają kąt o mierze \(90°\), stąd też na pewno będą to trójkąty podobne.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek pomocniczy uzyskane przed chwilą informacje, otrzymamy taką sytuację:


Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ASD\).
Kąty \(ASD\) oraz \(DSB\) to kąty przyległe, zatem suma ich miar będzie równa \(180°\). Skoro tak, to miara kąta \(ASD\) będzie równa:
$$|\sphericalangle ASD|=180°-(90°-\alpha)=180°-90°+\alpha=90°+\alpha$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(DAS\).
Trójkąt \(ASD\) jest równoramienny, a obliczony przed chwilą kąt \(ASD=90°+\alpha\) jest kątem między ramionami. Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro tak, to kąt \(DAS\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle DAS|=\frac{180°-(90°+\alpha)}{2}=\frac{180°-90°-\alpha}{2}=\frac{90°-\alpha}{2}$$

Miara kąta \(DAS\) jest równa połowie miary kąta \(CAB\), a to oznacza, że faktycznie odcinek \(AD\) jest symetralną kąta, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z wykorzystaniem własności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając do tego równania dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(4x+2)^2=(x+2)\cdot(x+11) \\
16x^2+16x+4=x^2+11x+2x+22 \\
16x^2+16x+4=x^2+13x+22 \\
15x^2+3x-18=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy przystąpić do liczenia delty:
Współczynniki: \(a=15,\;b=3,\;c=-18\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot15\cdot(-18)=9-(-1080)=1089 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1089}=33$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-33}{2\cdot15}=\frac{-36}{30}=-1,2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+33}{2\cdot15}=\frac{30}{30}=1$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Dobrą praktyką jest sprawdzenie jakie ciągi powstaną nam dla każdego z otrzymanych wyników. Mogłoby się zdarzyć, że jakiś wynik trzeba będzie odrzucić (choć tutaj prawdę mówiąc nic tego nie zapowiada, bo nie mamy informacji o tym, że ciąg jest np. rosnący). Nie mniej jednak sprawdźmy, jak wyglądają nasze ciągi:

Gdy \(x=-1,2\), to:
$$a_{1}=x+2=-1,2+2=0,8 \\
a_{2}=4x+2=4\cdot(-1,2)+2=-4,8+2=-2,8 \\
a_{3}=x+11=-1,2+11=9,8$$

Choć na pierwszy rzut oka tego nie widać, to ten ciąg jest jak najbardziej geometryczny, a jego iloczyn jest równy \(q=-3,5\). Możemy to bardzo łatwo sprawdzić na kalkulatorze, dzieląc wartość drugiego wyrazu przez wartość pierwszego wyrazu lub wartość trzeciego wyrazu przez wartość wyrazu drugiego.

Gdy \(x=1\), to:
$$a_{1}=x+2=1+2=3 \\
a_{2}=4x+2=4\cdot1+2=4+2=6 \\
a_{3}=x+11=1+11=12$$

Tu sytuacja jest oczywista, widzimy że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=2\).

To oznacza, że dany ciąg jest geometryczny zarówno dla \(x=-1,2\) jak i dla \(x=1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu leżącego na prostej \(k\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość \(sin\alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda następująca:


Kluczem do sukcesu jest pamiętanie o tym, że w tej konkretnej sytuacji (gdy jedno ramię kąta pokrywa się z osią \(OX\), a wierzchołek jest w punkcie będącym początkiem układu współrzędnych), możemy skorzystać ze wzorów na sinusa, cosinusa oraz tangensa w układzie współrzędnych (które znajdują się w tablicach). Nas interesuje cosinus, zatem interesuje nas wzór \(cos=\frac{x}{r}\), gdzie \(x\) jest współrzędną \(x\) dowolnego punktu na górnym ramieniu kąta, a \(r\) to odległość od wierzchołka do tego punktu (patrz rysunek).

Możemy więc wywnioskować, że skoro \(cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\), to \(x=\sqrt{3}\) oraz \(r=3\).

Krok 2. Obliczenie współrzędnej \(y\) punktu \(P\).
Aby obliczyć współczynnik kierunkowy prostej \(k\), musimy jeszcze poznać współrzędną \(y\) punktu \(P\). W tym celu możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:


$$(\sqrt{3})^2+y^2=3^2 \\
3+y^2=9 \\
y^2=6 \\
y=\sqrt{6}$$

To oznacza, że \(P=(\sqrt{3};\sqrt{6})\).

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).
Do wyznaczenia współczynnika kierunkowego \(a\) potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów, które należą do danej prostej. U nas takimi punktami będą wierzchołek znajdujący się w punkcie \(A=(0;0)\) oraz obliczony punkt \(P=(\sqrt{3};\sqrt{6})\). W związku z tym:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
a=\frac{\sqrt{6}-0}{\sqrt{3}-0} \\
a=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \\
a=\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(BD\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie prostej \(AC\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie prostej \(BD\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie prostej \(AC\) (patrz: Krok 2.) oraz prostej \(BD\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na układ współrzędnych poszczególne punkty z treści zadania:


Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Znając współrzędne dwóch punktów możemy bez problemu wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. W tym celu możemy skorzystać z długiego i skomplikowanego wzoru z tablic lub też z metody układu równań - i to właśnie z tego drugiego sposobu skorzystamy.

W tym celu musimy podstawić do równania prostej \(y=ax+b\) najpierw współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(C\), zatem:
\begin{cases}
-1=a\cdot1+b \\
5=a\cdot7+b
\end{cases}
\begin{cases}
-1=a+b \\
5=7a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-6=-6a \\
a=1$$

Wartość brakującego współczynnika \(b\) wyznaczymy podstawiając \(a=1\) do wybranego równania z układu równań (np. z pierwszego), zatem:
$$-1=a+b \\
-1=1+b \\
b=-2$$

To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=1x-2\), czyli po prostu \(y=x-2\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\).
Równanie prostej \(BD\) wyznaczymy identycznie jak prostej \(AC\), zatem:
\begin{cases}
1=a\cdot6+b \\
4=a\cdot2+b
\end{cases}
\begin{cases}
1=6a+b \\
4=2a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$-3=4a \\
a=-\frac{3}{4}$$

Brakujący współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając teraz \(a=-\frac{3}{4}\) do wybranego równania z układu równań (np. do pierwszego), zatem:
$$1=6a+b \\
1=6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b \\
1=-\frac{18}{4}+b \\
1=-4\frac{1}{2}+b \\
b=5\frac{1}{2}$$

To oznacza, że prosta \(BD\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych przecięcia się przekątnych.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z dwóch prostych jest miejsce ich przecięcia się, czyli dokładnie to, co nas interesuje. W związku z tym:
\begin{cases}
y=x-2 \\
y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy
$$x-2=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2} \\
\frac{7}{4}x=7\frac{1}{2} \\
\frac{7}{4}x=\frac{15}{2} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{7} \\
x=\frac{60}{14}=4\frac{4}{14}=4\frac{2}{7}$$

Znając współrzędną \(x=4\frac{2}{7}\) możemy bez problemu wyznaczyć wartość współrzędnej \(y\). Podstawiając obliczony \(x\) np. do pierwszego równania, otrzymamy:
$$y=x-2 \\
y=4\frac{2}{7}-2 \\
y=2\frac{2}{7}$$

To oznacza, że przekątne przecinają się w punkcie \(S=\left(4\frac{2}{7};2\frac{2}{7}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od 1.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń niesprzyjających (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz liczbę zdarzeń sprzyjających ALBO niesprzyjających (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Rzucamy cztery razy monetą, a w każdym rzucie możemy uzyskać jeden z dwóch wyników - orła lub reszkę. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich możliwości rzutu będziemy mieć \(|Ω|=2\cdot2\cdot2\cdot2=16\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której mamy wynik inny niż dwa orły oraz dwie reszki. Wypisanie wszystkich tych przypadków może być nieco problematyczne, za to znacznie łatwiej powinno pójść wypisanie zdarzeń, które NIE są sprzyjające. Będą to:
$$(RROO); (RORO); (ROOR); \\
(ORRO); (OROR); (OORR)$$

Zdarzeń niesprzyjających mamy \(6\), zatem zdarzeń sprzyjających będziemy mieć \(|A|=16-6=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zaznaczysz kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość \(x\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy znany nam kąt o mierze \(60°\) oraz kąt, którego cosinus musimy policzyć:


Z własności sześciokątów wiemy, że przekątne dzielą nam taki sześciokąt na sześć jednakowych trójkątów równobocznych, a każdy z nich ma bok o długości \(a=8\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(x\).
Na naszym rysunku odcinek \(x\) jest wysokością trójkąta równobocznego, której potrzebujemy do dalszych obliczeń. Korzystając ze wzoru na wysokość trójkątów równobocznych możemy zapisać, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
h=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na niebieski trójkąt prostokątny. Znamy długość dolnej przyprostokątnej oraz kąt przy niej leżący. Korzystając z tangensa możemy zatem zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{4\sqrt{3}} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{4\sqrt{3}} \\
H=\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3} \\
H=4\cdot3 \\
H=12$$

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi bocznej ostrosłupa.
Tym razem spoglądamy na zielony trójkąt prostokątny. Znamy długości dwóch przyprostokątnych tego trójkąta, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$8^2+12^2=c^2 \\
64+144=c^2 \\
c^2=208 \\
c=\sqrt{208} \quad\lor\quad c=-\sqrt{208}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(c=\sqrt{208}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(c=\sqrt{16\cdot13}=4\sqrt{13}\).

Krok 5. Obliczenie cosinusa kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.
Ponownie spoglądamy na nasz zielony trójkąt, bowiem to tu musimy wyznaczyć poszukiwany cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{8}{4\sqrt{13}} \\
cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}} \\
cos\alpha=\frac{2\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}} \\
cos\alpha=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$