Matura próbna - Matematyka - Wrzesień 2022

Poniżej znajduje się arkusz maturalny z matematyki (matura próbna podstawowa – wrzesień 2022). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Wrzesień 2022

Łącznie do zdobycia jest 46 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 180 minut.

Zadanie 1. (1pkt) Wartość wyrażenia $(1+3\cdot2^{-1})^{-2}$ jest równa:

$\frac{25}{4}$

$\frac{4}{25}$

$\frac{36}{49}$

$\frac{40}{9}$

Zadanie 2. (1pkt) Wartość wyrażenia $2log_{5}5+1-\frac{1}{2}log_{5}625$ jest równa:

$1$

$5$

$10$

$25$

Zadanie 3. (1pkt) Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez $25$, jest:

$9\cdot9\cdot2$

$9\cdot10\cdot2$

$9\cdot9\cdot4$

$9\cdot10\cdot4$

Zadanie 4. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq1$ wyrażenie $\frac{2}{x-1}-5$ jest równe:

$\frac{-5x+1}{x-1}$

$\frac{-5x+7}{x-1}$

$\frac{-5x+3}{x-1}$

$\frac{-5x-3}{x-1}$

Zadanie 5. (2pkt) Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ wyrażenie $9-(x^2-2xy+y^2)$ jest równe:

$[3-(x-2y)]^2$

$[3+(x-2y)]^2$

$[3-(x+2y)]^2$

$[3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]$

$[3-(x+2y)]\cdot[3+(x+2y)]$

$-[(x-y)-3]\cdot[(x-y)+3]$

Zadanie 6. (3pkt) Rozwiąż równanie
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do postaci iloczynu, w którym wystąpi co najwyżej drugi stopień potęgi.
2 pkt
• Gdy poprawnie rozwiążesz jedno z powstałych równań $x^2-9=0$ lub $3x-6=0$.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania:
$$3x^3-6x^2-27x+54=0 \\
x^2(3x-6)-9(3x-6)=0 \\
(x^2-9)\cdot(3x-6)=0$$

Aby powyższe równanie było równe $0$, to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa $0$, zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \\
x^2=9 \quad\lor\quad 3x=6 \\
x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=2$$

Zadanie 7. (1pkt) Równanie $\dfrac{(x^2+x)(x+3)(x-1)}{x^2-1}=0$ ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:

jedno rozwiązanie: $x=-3$

dwa rozwiązania: $x=-3, x=0$

trzy rozwiązania: $x=-3, x=-1, x=0$

cztery rozwiązania: $x=-3, x=-1, x=0, x=1$

Zadanie 8. (1pkt) Spośród nierówności A–D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.
matura z matematyki

$|x+2|\le2$

$|x-2|\le2$

$|x+2|\ge2$

$|x-2|\ge2$

Zadanie 9. (1pkt) Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę $1040 zł$. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach $20 zł$, $50 zł$ oraz $100 zł$. Banknotów $100$-złotowych było dwa razy więcej niż $50$-złotowych, a banknotów $20$-złotowych było o $2$ mniej niż $50$-złotowych.

Niech $x$ oznacza liczbę banknotów $50$-złotowych, a $y$ – liczbę banknotów $20$-złotowych, które otrzymał ten klient. Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb $x$ i $y$ to:

$\begin{cases}
20y+50x+100\cdot2x=1040 \\
y=x-2
\end{cases}$

$\begin{cases}
20y+50x+50x\cdot2=1040 \\
y=x-2
\end{cases}$

$\begin{cases}
20y+50x+100\cdot2x=1040 \\
x=y-2
\end{cases}$

$\begin{cases}
20y+50x+50x\cdot2=1040 \\
x=y-2
\end{cases}$

Zadanie 10. (3pkt) Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, przedstawiono wykres funkcji $f$ określonej dla każdego $x\in\langle-5, 4)$. Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.
matura z matematyki

Zadanie 10.1. Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji $f$.
$$.....................$$
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

Zadanie 10.2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Dla każdego argumentu z przedziału $(-4, -2)$ funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne.

Funkcja $f$ ma trzy miejsca zerowe.

Zadanie 10.3. Najmniejsza wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle-4, 0\rangle$ jest równa:

$(-4)$

$(-3)$

$(-2)$

$0$

Zadanie 11. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są: punkt $A=(8, 11)$ oraz okrąg o równaniu $(x-3)^2+(y+1)^2=25$.

Odległość punktu $A$ od środka tego okręgu jest równa:

$25$

$13$

$\sqrt{125}$

$\sqrt{265}$

Zadanie 12. (3pkt) Basen ma długość $25 m$. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa $1,2 m$. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.

Głębokość $y$ basenu zmienia się wraz z odległością $x$ od brzegu w sposób opisany funkcją:
$$y=\begin{cases} ax+b\quad \text{ dla }\quad 0\le x\le15 m \\
0,18x-0,9\quad \text{ dla }\quad 15 m\le x\le25 m \end{cases}$$

Odległość $x$ jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości $x$ i $y$ są wyrażone w metrach.
matura z matematyki

Zadanie 12.1. Największa głębokość basenu jest równa:

$5,4 m$

$3,6 m$

$2,2 m$

$1,8 m$

Zadanie 12.2. Oblicz wartość współczynnika $a$ oraz wartość współczynnika $b$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz współczynnik $b$.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Z treści zadania wynika, że w najpłytszym miejscu głębokość basenu jest równa $1,2m$. Czyli moglibyśmy powiedzieć, że dla $x=0$ ta funkcja przyjmuje wartość $y=1,2$. Skoro tak, to podstawiając te dane do wzoru $y=ax+b$, otrzymamy:
$$1,2=a\cdot0+b \\
b=1,2$$

To oznacza, że pierwszy wzór z funkcji przybiera postać $y=ax+1,2$.

Musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika $a$. Z całego wzoru wynika, że dla $x=15$ funkcja może być opisana jednym i drugim wzorem (czyli z jednego i drugiego wzoru wyjdzie nam wtedy ta sama wartość) i to będzie właśnie nasz punkt zaczepienia. Korzystając ze wzoru $y=0,18x-0,9$, spróbujmy obliczyć głębokość basenu dla $x=15$:
$$y=0,18\cdot15-0,9 \\
y=2,7-0,9 \\
y=1,8$$

Otrzymaną głębokość musimy także otrzymać gdy podstawimy $x=15$ do wyznaczonej postaci $y=ax+1,2$, zatem:
$$1,8=a\cdot15+1,2 \\
0,6=15a \\
a=0,04=\frac{1}{25}$$

To oznacza, że $a=\frac{1}{25}$ oraz $b=1,2$.

Zadanie 13. (2pkt) Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=-(x-1)^2+2$.

Zadanie 13.1. Wykresem funkcji $f$ jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne:

$(1, 2)$

$(-1, 2)$

$(1, -2)$

$(-1, -2)$

Zadanie 13.2. Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział:

$(-\infty,2\rangle$

$(-\infty,2)$

$(2;+\infty)$

$\langle2;+\infty)$

Zadanie 14. (2pkt) Dany jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n}=\dfrac{7^n}{21}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$.

Zadanie 14.1. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu $(a_{n})$ jest:

$\dfrac{7^{49}}{3}$

$\dfrac{7^{50}}{3}$

$\dfrac{7^{51}}{3}$

$\dfrac{7^{52}}{3}$

Zadanie 14.2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny.

Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $20$.

Zadanie 15. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dana jest prosta $k$ o równaniu $y=3x+b$, przechodząca przez punkt $A=(-1, 3)$. Współczynnik $b$ w równaniu tej prostej jest równy:

$0$

$6$

$(-10)$

$8$

Zadanie 16. (3pkt) Dany jest ciąg $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n}=3n-1$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$.

Zadanie 16.1. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Ciąg $(a_{n})$ jest:

rosnący,

malejący,

stały,

ponieważ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$

$a_{n+1}-a_{n}=-1$

$a_{n+1}-a_{n}=0$

$a_{n+1}-a_{n}=3$

Zadanie 16.2. Najmniejszą wartością $n$, dla której wyraz $(a_{n})$ jest większy od $25$, jest:

$8$

$9$

$7$

$26$

Zadanie 16.3. Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $a_{n}$ jest równa $57$ dla $n$ równego:

$6$

$23$

$5$

$11$

Zadanie 17. (1pkt) Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$, dane są:
• prosta $k$ o równaniu $y=\frac{1}{2}x+5$
• prosta $l$ o równaniu $y-1=-2x$

Proste $k$ i $l$:

się pokrywają

nie mają punktów wspólnych

są prostopadłe

przecinają się pod kątem $30°$

Zadanie 18. (1pkt) Wartość wyrażenia $(1-cos20°)\cdot(1+cos20°)-sin^2 20°$ jest równa:

$(-1)$

$0$

$1$

$20$

Zadanie 19. (1pkt) W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy $4:5$. Z pojemnika losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:

$\frac{4}{9}$

$\frac{4}{5}$

$\frac{1}{9}$

$\frac{1}{4}$

Zadanie 20. (1pkt) Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ABO$ ma miarę $40°$, a kąt $OBC$ ma miarę $10°$ (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Miara kąta $ACO$ jest równa:

$30°$

$40°$

$50°$

$60°$

Zadanie 21. (2pkt) Dany jest trójkąt $ABC$ o bokach długości $6$, $7$ oraz $8$. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie wynikające z twierdzenia cosinusów.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

matura z matematyki
Kąt o największej mierze będą tworzyć dwa najkrótsze boki, które możemy oznaczyć jako $a=6$ oraz $b=7$. Najdłuższy bok będzie leżał naprzeciwko tego kąta, czyli $c=8$. Mając te dane, możemy teraz skorzystać z twierdzenia cosinusów, zatem:
$$8^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cdot cos\gamma \\
64=36+49-84cos\gamma \\
64=85-84cos\gamma \\
-21=-84cos\gamma \\
cos\gamma=\frac{1}{4}$$

Zadanie 22. (1pkt) W trójkącie $ABC$ bok $AB$ ma długość $4$, a bok $BC$ ma długość $4,6$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$ takim, że $|AD|=3,2$ (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Odcinek $CD$ ma długość:

$\frac{64}{23}$

$\frac{16}{5}$

$\frac{23}{4}$

$\frac{92}{25}$

Zadanie 23. (4pkt) Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
• przychód $P$ (w złotych) z tygodniowej sprzedaży $x$ wiatraków można opisać funkcją $P(x)=251x$
• koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją $K(x)=x^2+21x+170$.

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej $150$ wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że $Z(x)=P(x)-K(x)$.
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny wzór funkcji z której obliczymy zysk (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędną $p$ wierzchołka paraboli i dostrzeżesz, że mieści się ona w dziedzinie funkcji (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zysk to różnica między przychodami i kosztami. Wiemy, że przychód możemy opisać jako $251x$, a koszty to $x^2+21x+170$. To oznacza, że zysk jest równy:
$$251x-(x^2+21x+170)=251x-x^2-21x-170=-x^2+230x-170$$

To oznacza, że zysk możemy zapisać w postaci funkcji $Z(x)=-x^2+230x-170$.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej $p$ wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych wiatraków, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja $Z(x)=-x^2+230x-170$ jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik $a$ jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji $Z(x)$. Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku. Obliczmy zatem współrzędną $p$ wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru $p=\frac{-b}{2a}$ i wiedząc, że $a=-1$ oraz $b=230$, możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-230}{2\cdot(-1)} \\
p=\frac{-230}{-2} \\
p=115$$

To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu $x=115$. Ta wartość mieści się w przedziale $x\in\langle0;150\rangle$, więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji $115$ wiatraków.

Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba wiatraków będzie równa $x=115$. To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć na dwa sposoby - możemy obliczyć współrzędną $q$ wierzchołka paraboli ze wzoru $q=\frac{-Δ}{4a}$ lub też podstawiając po prostu $x=115$ do wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli $Z(x)=-x^2+230x-170$. Prostsza jest chyba ta druga metoda (uważajmy tylko na znaki!), zatem:
$$Z(115)=-115^2+230\cdot115-170 \\
Z(115)=-13225+26450-170 \\
Z(115)=13055$$

To oznacza, że największy zysk wynosi $13055$ złotych.

Zadanie 24. (3pkt) Firma $F$ zatrudnia $160$ osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy $F$, którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.
matura z matematyki

Zadanie 24.1. Średnia miesięczna płaca brutto w firmie $F$ jest równa:

$4 593,75 zł$

$4 800,00 zł$

$5 360,00 zł$

$2 399,33 zł$

Zadanie 24.2. Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy $F$ jest równa:

$4 000 zł$

$4 800 zł$

$5 000 zł$

$5 500 zł$

Zadanie 24.3. Liczba pracowników firmy $F$, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa $5 000 zł$, stanowi (w zaokrągleniu do $1\%$):

$91\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy

$78\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy

$53\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy

$22\%$ liczby wszystkich pracowników tej firmy

Zadanie 25. (3pkt) Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość $10\sqrt{3}$, a każda jego krawędź boczna ma długość $15$. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że $\frac{2}{3}h_{p}=10$ (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz, że $\frac{2}{3}h_{p}=10$ (patrz: Krok 2.) oraz wyznaczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że w podstawie mamy trójkąt równoboczny, a ostrosłup wygląda mniej więcej w ten oto sposób:
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Skoro w podstawie mamy trójkąt równoboczny, to jego wysokość obliczymy korzystając ze wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Podstawiając do tego wzoru $a=10\sqrt{3}$, otrzymamy:
$$h_{p}=\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
h_{p}=\frac{10\cdot3}{2} \\
h_{p}=\frac{30}{2} \\
h_{p}=15$$

Tym samym odcinek o długości $\frac{2}{3}h_{p}$ będzie miał długość $\frac{2}{3}\cdot15=10$.

Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na nasz kluczowy trójkąt prostokątny, który tworzą odcinek o długości $\frac{2}{3}h$, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna. Znamy dwie długości boków tego trójkąta, zatem możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$10^2+H^2=15^2 \\
100+H^2=225 \\
H^2=125 \\
H=\sqrt{125} \quad\lor\quad H=-\sqrt{125}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ wysokość ostrosłupa musi być dodatnia. Stąd też zostaje nam jedynie $H=\sqrt{125}$, co możemy jeszcze rozpisać jako $H=\sqrt{25\cdot5}=5\sqrt{5}$.

Zadanie 26. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $10n^2+30n+8$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz podane wyrażenie do postaci typu $5\cdot(2n^2+6n+1)+3$ lub innej podobnej, ale nie uzasadnisz dlaczego ta liczba przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyjaśnienie:

Kluczem do sukcesu będzie rozbicie liczby $8$ na sumę $5+3$. To pozwoli nam wyłączyć wspólny czynnik równy $5$ z podanego wyrażenia. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$10n^2+30n+8= \\
=10n^2+30n+5+3= \\
=5\cdot(2n^2+6n+1)+3$$

Wartość $2n^2+6n+1$ jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą, ponieważ mamy tutaj same liczby naturalne, które są do siebie dodawane. To oznacza, że dzieląc liczbę $10n^2+30n+8$ przez $5$ otrzymamy właśnie $2n^2+6n+1$, a stojąca na końcu liczba $3$ to reszta z tego dzielenia, co należało udowodnić.

Zdobyłeś/aś: 0/46pkt

Zobacz swój test

Zobacz poprawne odpowiedzi

Popraw test

PDF

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Matura podstawowa z matematyki – Wrzesień 2022 – Odpowiedzi

Matura podstawowa z matematyki – Wrzesień 2022 – PDF