Pole powierzchni bocznej walca jest 5 razy większe od sumy pól jego podstaw. Miara kąta nachylenia przekątnej

Pole powierzchni bocznej walca jest \(5\) razy większe od sumy pól jego podstaw. Miara kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tego walca do podstawy jest w przybliżeniu równa:

Rozwiązanie

Pole powierzchni bocznej walca wyliczymy ze wzoru:
$$P_{b}=2πrH$$

Pole podstawy wyliczymy ze wzoru:
$$P_{p}=πr^2$$

Skoro w walcu mamy dwie podstawy (dolną i górną), a pole powierzchni bocznej jest \(5\) razy większe od sumy powierzchni tych podstaw to otrzymamy równanie:
$$P_{b}=5\cdot2\cdot P_{p} \\
2πrH=10\cdot πr^2 \quad\bigg/:πr \\
2H=10r \\
H=5r$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek informację, którą przed chwilą otrzymaliśmy i zaznaczmy przy okazji poszukiwany kąt:
matura z matematyki

Krok 3. Obliczenie miary kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego walca do podstawy.
Tangens odpowiada stosunkowi długości dwóch przyprostokątnych. Jedna przyprostokątna ma długość \(5r\), druga ma długość \(2r\), zatem zgodnie z rysunkiem możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{5r}{2r} \\
tgα=2,5$$

Z tablic możemy odczytać, że tangens przyjmuje wartość około \(2,4751\) dla kąta o mierze \(68°\) oraz wartość około \(2,6051\) dla kąta o mierze \(69°\). Znacznie bliżej jest do tej pierwszej wartości, zatem możemy powiedzieć, że nasz poszukiwany kąt ma w przybliżeniu \(68°\).

Odpowiedź

B

Dodaj komentarz