Równania z wartością bezwzględną

Równania z wartością bezwzględną nie są trudne, ale żeby móc je rozwiązać, trzeba zrozumieć na czym one tak naprawdę polegają. Sprawdźmy zatem jakie zadania mogą nas spotkać w tym temacie.

Równanie z wartością bezwzględną – przykład
Równaniem z wartością bezwzględną jest np. \(|x+3|=5\). Zanim poznamy sposób na rozwiązywanie takiego równania, spróbujmy samodzielnie dojść do prawidłowego wyniku. Widzimy wyraźnie, że na pewno pasującym rozwiązaniem byłby \(x=2\), bo otrzymamy wtedy \(|2+3|=|5|=5\). Jednak czy jest to jedyne pasujące rozwiązanie? Okazuje się, że nie. Równie dobrym rozwiązaniem byłoby przecież także \(x=-8\), ponieważ otrzymamy wtedy \(|-8+3|=|-5|=5\).

Spróbujmy zatem zrozumieć skąd się biorą te dwa rozwiązania. Wszystko tak naprawdę sprowadza się do tego, że aby \(|x+3|\) było równe \(5\), to pod wartością bezwzględną możemy mieć zarówno \(5\) jak i \(-5\). Nasza dedukcja prowadzi nas zatem do wniosku, że musimy sprawdzić kiedy \(x+3=5\) oraz kiedy \(x+3=-5\). Rozwiązania z tych dwóch równań będą jednocześnie rozwiązaniami naszego równania z wartością bezwzględną:
$$x+3=5 \quad\quad\lor\quad\quad x+3=-5 \\
x=2 \quad\quad\lor\quad\quad x=-8$$

Stąd też rozwiązaniami równania \(|x+3|=5\) będą \(x=2\) oraz \(x=-8\).

Sposób rozwiązywania równań z wartością bezwzględną
Bazując na naszym przykładzie możemy powiedzieć, że aby rozwiązać równanie z wartością bezwzględną, musimy ułożyć dwa równania, w których pozbywamy się znaku wartości bezwzględnej – w pierwszym równaniu wszystkie liczby przepisujemy bez zmiany znaków, a w drugim równaniu musimy zamienić liczbę stojącą po prawej na liczbę przeciwną.

Powyższa metoda jest bardzo uniwersalna, ale trzeba mieć na uwadze, że zadziała tylko wtedy, gdy po jednej stronie mamy wartość bezwzględną, a po drugiej jakaś liczbę. To oznacza, że czasami zanim przystąpimy do zapisania dwóch równań, będziemy musieli najpierw cały zapis uprościć. Sprawdźmy jak to będzie wyglądać na konkretnych przykładach.

Przykład 1. Rozwiąż równanie \(|2x+3|=7\)

Rozwiązanie:
Mamy klasyczny przykład równania z wartością bezwzględną. Aby rozwiązać takie równanie, musimy zapisać dwa równania. Pierwsze równanie będzie identyczne jak to początkowe, tylko bez wartości bezwzględnej. Drugie równanie także będzie bez znaku wartości bezwzględnej, ale dodatkowo po prawej stronie musimy zapisać liczbę przeciwną. W związku z tym otrzymamy:
$$2x+3=7 \quad\quad\lor\quad\quad 2x+3=-7 \\
2x=4 \quad\quad\lor\quad\quad 2x=-10 \\
x=2 \quad\quad\lor\quad\quad x=-5$$

To oznacza, że rozwiązaniem równania jest para liczb: \(x=-5\) oraz \(x=2\).

Przykład 2. Rozwiąż równanie \(|-x+5|=10\)

Rozwiązanie:
To, że pod wartością bezwzględną mamy ujemny \(x\) w niczym nam nie przeszkadza. Zapisujemy standardowo dwa równania w taki sposób, by to drugie miało zmienioną liczbę po prawej stronie na przeciwną:
$$-x+5=10 \quad\quad\lor\quad\quad -x+5=-10 \\
-x=5 \quad\quad\lor\quad\quad -x=-15 \\
x=-5 \quad\quad\lor\quad\quad x=15$$

To oznacza, że nasze równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-5\) oraz \(x=15\).

Przykład 3. Rozwiąż równanie \(|-x+\sqrt{5}|=10\)

Rozwiązanie:
Sytuacja jest niemalże identyczna jak przed chwilą, choć tym razem mamy dodatkowo pierwiastek. To absolutnie nie zmienia sposobu liczenia, ale musimy być nieco ostrożniejsi przy obliczeniach rachunkowych. Standardowo piszemy dwa równania, zatem:
$$-x+\sqrt{5}=10 \quad\quad\lor\quad\quad -x+\sqrt{5}=-10 \\
-x=10-\sqrt{5} \quad\quad\lor\quad\quad -x=-10-\sqrt{5}$$

I tutaj uwaga – zarówno w pierwszym jak i drugim równaniu chcemy pomnożyć obydwie strony przez \(-1\). I to jest dobry sposób, ale trzeba pamiętać o tym, by po prawej stronie pozmieniać wtedy wszystkie znaki na przeciwne, dzięki czemu otrzymamy:
$$x=-10+\sqrt{5} \quad\quad\lor\quad\quad x=10+\sqrt{5}$$

Oprócz powyższych przykładów, możemy spotkać się jeszcze z paroma dość niestandardowymi sytuacjami, które pozwolą nam podać rozwiązanie równania niemalże w pamięci.

Przykład 4. Rozwiąż równanie \(|4x+8|=0\)

Rozwiązanie:
Kiedy po prawej stronie równania mamy \(0\), nie musimy układać dwóch równań (bo nie ma czegoś takiego jak \(-0\)). To oznacza, że aby rozwiązać to równanie, wystarczy opuścić wartość bezwzględną i rozwiązać powstałe równanie:
$$4x+8=0 \\
4x=-8 \\
x=-2$$

Przykład 5. Rozwiąż równanie \(|7x-\sqrt{5}|=-2\)

Rozwiązanie:
Po prawej stronie równania znalazła się liczba ujemna. Z własności wartości bezwzględnych wiemy, że nie ma takiej możliwości, by wartość bezwzględna dała wynik ujemny. To oznacza, że nie ma takiej niewiadomej \(x\), która spełniałaby warunki tego równania, a to oznacza, że nasze równanie nie ma rozwiązań. Możemy powiedzieć, że rozwiązaniem jest tutaj zbiór pusty.

W każdym z powyższych przykładów mieliśmy sytuację, w której po lewej stronie jest wartość bezwzględna, a po prawej jakaś liczba. Może się jednak zdarzyć i tak, że czasem rozwiązywanie przykładów trzeba będzie zacząć od wykonania pewnych przekształceń.

Przykład 6. Rozwiąż równanie \(4+|x+3|=15\)

Rozwiązanie:
Na początku musimy uprościć nasz zapis. Aby skorzystać ze standardowej metody należy najpierw doprowadzić do sytuacji w której po lewej stronie mamy wartość bezwzględną, a po prawej liczbę. W związku z tym:
$$4+|x+3|=15 \\
|x+3|=11$$

Teraz możemy podejść do naszego równania tak jak w poprzednich przypadkach, zatem rozpisujemy dwa równania:
$$x+3=11 \quad\quad\lor\quad\quad x+3=-11 \\
x=8 \quad\quad\lor\quad\quad x=-14$$

Rozwiązaniem naszego równania jest więc para liczb \(x=-14\) oraz \(x=8\).

Przykład 7. Rozwiąż równanie \(4-|x+3|=15\)

Rozwiązanie:
Tutaj także musimy najpierw zacząć od uproszczenia zapisu. W tym celu należy odjąć obustronnie \(4\), a następnie całość pomnożyć przez \(-1\) (tak aby pozbyć się tego minusa, który zostanie przed wartością bezwzględną). Całość będzie więc wyglądać następująco:
$$4-|x+3|=15 \\
-|x+3|=11 \quad\bigg/\cdot(-1) \\
|x+3|=-11$$

No i tu się musimy na chwilę zatrzymać. To jest jedna z tych nietypowych sytuacji, o których mówiliśmy sobie wcześniej. Czy jest możliwe, aby wartość bezwzględna była równa \(-11\) (czyli była liczbą ujemną)? My już wiemy, że wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia lub równa zero. To oznacza, że takie równanie nie ma rozwiązań.

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments