Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Pitagorasa mówi nam o tym, że jeżeli w danym trójkącie suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego boku, to taki trójkąt jest na pewno trójkątem prostokątnym. Możemy zatem zapisać, że:
$$\text{jeżeli }a^2+b^2=c^2 \text{ to trójkąt jest prostokątny}$$

To oznacza, że tak jak Twierdzenie Pitagorasa wykorzystujemy do obliczeń długości poszczególnych boków, tak teraz możemy za jego pomocą wykazać/udowodnić, że dany trójkąt jest prostokątny. Przyda się to w szczególności w zadaniach dowodowych. W ramach pewnej ciekawostki możemy rozszerzyć tę wiedzę i zapisać, że:
$$\text{jeżeli }a^2+b^2\gt c^2 \text{ to trójkąt jest ostrokątny} \\
\text{jeżeli }a^2+b^2\lt c^2 \text{ to trójkąt jest rozwartokątny}$$

Zobaczmy w takim razie gdzie możemy wykorzystać zdobytą przed chwilą wiedzę.

Przykład 1. Czy trójkąt o bokach długości \(5cm, 10cm, 12cm\) jest trójkątem prostokątnym?

Aby rozstrzygnąć, czy nasz trójkąt jest prostokątny, musimy sprawdzić czy suma kwadratów dwóch najkrótszych boków będzie równa kwadratowi najdłuższego boku.
$$a^2+b^2=5^2+10^2=25+100=125 \\
c^2=12^2=144 \\
\text{zatem }a^2+b^2\neq c^2$$

To oznacza, że ten trójkąt nie jest trójkątem prostokątnym. Korzystając z naszej ciekawostki możemy za to dodać, że jest to trójkąt rozwartokątny, bo \(a^2+b^2\), czyli \(125\), jest mniejsze od \(c^2\), które było równe \(144\).

Przykład 2. Czy trójkąt o bokach długości \(5cm, 12cm, 13cm\) jest trójkątem prostokątnym? Czy trójkąt o takich wymiarach może w ogóle istnieć?

Zanim przejdziemy do podnoszenia do kwadratu długości poszczególnych boków, to zastanówmy się nad tym drugim pytaniem, czyli czy dany trójkąt może w ogóle istnieć. Dla przypomnienia – aby mógł postać trójkąt (jakikolwiek) to suma długości jego dwóch najkrótszych boków musi być większa od długości najdłuższego boku. W tym przypadku dwa najkrótsze boki mają sumę długości równą:
$$5+12=17$$

Skoro \(17\gt13\) to znaczy, że taki trójkąt jak najbardziej istnieje. To przećwiczyliśmy sobie w ramach powtórzeń, a teraz sprawdźmy czy ten istniejący trójkąt jest prostokątny:
$$a^2+b^2=5^2+12^2=25+144=169 \\
c^2=13^2=169 \\
\text{zatem }a^2+b^2=c^2$$

Skoro równość jest prawdziwa, to zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa taki trójkąt jest faktycznie prostokątny.

Dodaj komentarz