Podstawą ostrosłupa ABCDE jest kwadrat, a spodek F wysokości EF ostrosłupa jest środkiem krawędzi AD

Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat, a spodek \(F\) wysokości \(EF\) ostrosłupa jest środkiem krawędzi \(AD\) (patrz rysunek). Ponadto wiadomo, że każda z dwóch dłuższych krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość \(12\sqrt{5}cm\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60°\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

matura z matematyki

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:
matura z matematyki

Tutaj kluczowy staje się trójkąt \(EFB\), który jest trójkątem prostokątnym, a dokładniej rzecz ujmując jest to trójkąt prostokątny o kątach \(30°,60°,90°\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(FB\) oraz \(EF\).
Spójrzmy na nasz trójkąt \(EFB\). Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(12\sqrt{5}\). Za pomocą funkcji trygonometrycznych lub też własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) jesteśmy w stanie wyznaczyć pozostałe boki tego trójkąta. Spróbujmy może skorzystać z własności takich trójkątów i zacznijmy od wyznaczenia długości odcinka \(FB\).
matura z matematyki

Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\), odcinek \(FB\) jest dwukrotnie krótszy od przeciwprostokątnej, zatem:
$$FB=12\sqrt{5}:2 \\
FB=6\sqrt{5}$$

Teraz wyznaczmy długość odcinka \(EF\) (która jest jednocześnie wysokością naszego ostrosłupa). Ją moglibyśmy wyznaczyć nawet z Twierdzenia Pitagorasa, ale trzymając się własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) wiemy, że ten odcinek będzie \(\sqrt{3}\) razy większy od przyprostokątnej \(FB\). W związku z tym:
$$EF=6\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} \\
EF=6\sqrt{15}$$

Skoro odcinek \(EF\) jest wysokością ostrosłupa, to możemy od razu zapisać, że \(H=6\sqrt{15}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy na trójkąt \(ABF\). Na pewno jest to trójkąt prostokątny, bo kąt \(FAB\) jest kątem kwadratu znajdującego się w podstawie.
Znamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, czyli \(FB=6\sqrt{5}\). Jeżeli odcinek \(AB\) oznaczymy jako \(a\), to odcinek \(AF\) będziemy mogli zapisać jako \(\frac{1}{2}a\). W związku z tym zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2=(6\sqrt{5})^2 \\
a^2+\frac{1}{4}a^2=36\cdot5 \\
\frac{5}{4}a^2=180 \\
a^2=144 \\
a=12 \quad\lor\quad a=-12$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=12\).

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiemy już, że w podstawie ostrosłupa jest kwadrat o boku \(a=12\), a wysokość ostrosłupa to \(H=6\sqrt{15}\). Znając te dane możemy przystąpić do liczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}a^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12^2\cdot6\sqrt{15} \\
V=\frac{1}{3}\cdot144\cdot6\sqrt{15} \\
V=48\cdot6\sqrt{15} \\
V=288\sqrt{15}[cm^3]$$

Odpowiedź

\(V=288\sqrt{15}cm^3\)

Dodaj komentarz