Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość \(2,1km\). Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy \(1\) godzinę i \(4\) minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o \(1km/h\) mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
\(t\) – czas wchodzenia na wzgórze
\(1\) godzina i \(4\) minuty, czyli \(1\frac{4}{60}=\frac{16}{15}\) godziny – czas wchodzenia i schodzenia ze wzgórza
\(\frac{16}{15}-t\) – czas schodzenia ze wzgórza
\(v\) – prędkość wchodzenia na wzgórze
\(v+1\) – prędkość schodzenia ze wzgórza
\(s=2,1\) – długość drogi w kilometrach (w jednym kierunku)
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości wchodzenia i schodzenia w formie układu równań:
\begin{cases}
vt=2,1 \\
(v+1)(\frac{16}{15}-t)=2,1
\end{cases}\begin{cases}
t=\frac{2,1}{v} \\
\frac{16}{15}v-vt+\frac{16}{15}-t=2,1
\end{cases}
Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(t=\frac{2,1}{v}\) do drugiego równania. Warto też będzie wymnożyć sobie wszystkie strony powstałego równania np. przez \(30\), tak aby pozbyć się wszystkich ułamków, zatem:
$$\frac{16}{15}v-v\cdot\frac{2,1}{v}+\frac{16}{15}-\frac{2,1}{v}=2,1 \quad\bigg/\cdot 30 \\
32v-63+32-\frac{63}{v}=63 \quad\bigg/\cdot v \\
32v^2-63v+32v-63=63v \\
32v^2-94v-63=0$$
Współczynniki: \(a=32,\;b=-94,\;c=-63\)
$$Δ=b^2-4ac=(-94)^2-4\cdot32\cdot(-63)=8836-(-8064)=16900 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{16900}=130$$
$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)-130}{2\cdot32}=\frac{94-130}{64}=\frac{-36}{64}=-\frac{9}{16} \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)+130}{2\cdot32}=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3,5$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo prędkość nie może być ujemna. Zatem \(v=3,5\frac{km}{h}\) i to jest nasza końcowa odpowiedź.
Prędkość wchodzenia na wzgórze jest równa \(v=3,5\frac{km}{h}\).
ale to jest źle xd, na logikę, jeżeli ktoś szedł z prędkością 3,5km/h 1 kilometr i 50m (czyli polowe trasy) to przejdzie odcinek w jakoś 20 min xd wiec jak będzie iść szybciej to przejdzie go w 15 a nie godzinę 4 min łącznie
Zadanie jest zrobione dobrze ;) 2,1km to długość w jedną stronę, a nie dwie :)
Dlaczego tam jest x30 a nie x15? W sensie nie rozumiem tego trochę
Chciałem się pozbyć wszystkich ułamków. Owszem, mnożąc przez 15 pozbędziemy się tych ułamków zwykłych z lewej strony równania, ale po prawej stronie zostanie nam 31,5, czyli tak średnio ;) Ogólnie nie ma większego znaczenia przez co wymnożymy obydwie strony, choć tak jak wspomniałem, mnożąc przez 30 mamy później łatwiejsze obliczenia.
Czy to zadanie pojawi się na maturze 2023? (Stara Formuła)
To zadanie było dość charakterystyczne dla bardzo starych matur (przed 2015 rokiem). Teraz takie zadania raczej się nie pojawiają ;)
A dlaczego nie wychodzi gdy zapiszę, że prędkość wchodzenia to (v-1) a schodzenia to v zamiast wchodzenia v a schodzenia (v+1)?
Prawdopodobnie popełniasz po drodze jakiś błąd rachunkowy ;)