Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie założeń.
Jak to w równaniach wymiernych zazwyczaj bywa - musimy zacząć od wypisania założeń. Wartość w mianowniku nie może być równa zero, stąd też:
$$3x-2\neq0 \\
3x\neq2 \\
x\neq\frac{2}{3}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron równania przez to, co znalazło się w mianowniku, czyli \(3x-2\), zatem:
$$\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2 \quad\bigg/\cdot(3x-2) \\
6x-1=(3x+2)(3x-2)$$
Po prawej stronie otrzymaliśmy mnożenie, w którym możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Możemy więc zapisać, że:
$$6x-1=(3x)^2-2^2 \\
6x-1=9x^2-4 \\
9x^2-6x-3=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem korzystając z delty możemy zapisać, że:
Współczynniki: \(a=9,\;b=-6,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot9\cdot(-3)=36-(-108)=36+108=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-12}{2\cdot9}=\frac{6-12}{18}=\frac{-6}{18}=-\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+12}{2\cdot9}=\frac{6+12}{18}=\frac{18}{18}=1$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się z założeniami. W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(x\neq\frac{2}{3}\) i akurat w tym przypadku to założenie nie wpływa na rozwiązanie zadania. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem naszego równania są dwie liczby: \(x=-\frac{1}{3}\) oraz \(x=1\).
