Matura próbna – Matematyka – Operon 2017

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy zapisać tę nierówność w postaci ogólnej. Musimy zatem wykonać potęgowanie i przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, pozostawiając po prawej stronie samo zero.

Uwaga: Jeżeli przeniesiemy \((2-5x)^2\) na lewą stronę to nie powstanie nam wbrew pozorom postać iloczynowa, z której to potem łatwo wyznaczymy miejsca zerowe. Po przeniesieniu po lewej stronie powstanie nam \((4x-1)^2-(2-5x)^2\). Gdyby zamiast minusa między nawiasami było mnożenie, to wtedy byłaby to postać iloczynowa, a tak to niestety musimy wykonywać potęgowanie i potem liczyć całość z delty.
$$(4x-1)^2\lt(2-5x)^2 \\
16x^2-8x+1\lt4-20x+25x^2 \\
-9x^2+12x-3\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-9,\;b=12,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=12^2-4\cdot(-9)\cdot(-3)=144-108=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-12-6}{2\cdot(-9)}=\frac{-18}{-18}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-12+6}{2\cdot(-9)}=\frac{-6}{-18}=\frac{1}{3}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)).



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera, a więc interesować nas będzie suma przedziałów:
$$x\in\left(-\infty;\frac{1}{3}\right)\cup(1;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz poprawny wykres funkcji \(2^x-3\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku wykresu funkcji.
Podana w zadaniu funkcja jest tak naprawdę funkcją wykładniczą \(2^x\), która jest przesunięta o \(3\) jednostki w dół. Musimy więc narysować najpierw naszą funkcję wykładniczą, a następnie wykonać jej przesunięcie. Aby narysować wykres funkcji wykładniczej \(2^x\) dobrze jest obliczyć i zaznaczyć najbardziej charakterystyczne punkty przez które taki wykres przechodzi. Z racji tego iż jest to zadanie otwarte, to powinniśmy wykonać ten wykres dość szczegółowo, stąd też policzymy sobie kilka takich kluczowych miejsc:
Dla \(x=0\) funkcja \(2^x\) przyjmuje wartość \(2^0=1\)
Dla \(x=1\) funkcja \(2^x\) przyjmuje wartość \(2^1=2\)
Dla \(x=2\) funkcja \(2^x\) przyjmuje wartość \(2^2=4\)
Dla \(x=-1\) funkcja \(2^x\) przyjmuje wartość \(2^{-1}=\frac{1}{2}\)
Dla \(x=-2\) funkcja \(2^x\) przyjmuje wartość \(2^{-2}=\frac{1}{4}\)

Teraz możemy narysować wykres funkcji \(2^x\) (linia niebieska), a następnie przesunąć każdy z punktów o trzy jednostki w dół otrzymując wykres funkcji \(2^x-3\) (linia zielona).



Krok 2. Odczytanie zbioru wartości funkcji.
Zbiór wartości odczytujemy z osi igreków. Widzimy wyraźnie, że nasza zielona funkcja zbliża się do \(y=-3\), ale nigdy tej linii nie osiągnie. To oznacza, że zbiorem wartości funkcji \(f(x)=2^x-3\) jest y\in(-3;+\infty).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \(4a^2-4a+1\ge0\) lub innej podobnej.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Ustalenie znaku wyrażenia \(1-a\).
Na początku musimy ustalić, czy \(1-a\) jest liczbą dodatnią, czy ujemną. To jest wbrew pozorom klucz do poprawnego rozwiązania tego zadania. Dlaczego? To co chcielibyśmy zrobić na samym początku przy rozwiązywaniu tej nierówności to wymnożyć jedną i drugą stronę przez wartość \(1-a\). I to jest dobry pomysł, pod warunkiem że jesteśmy pewni czy nasza wartość \(1-a\) jest dodatnia, czy też ujemna. Jeżeli \(1-a\) byłoby ujemne, to musielibyśmy zmienić znak nierówności na przeciwny, stąd też tak ważne jest to aby ustalić znak tego wyrażenia.

Z założeń wynika, że \(a\lt1\). W związku z tym:
$$a\lt1 \\
0\lt1-a \\
1-a\gt0$$

Wartość \(1-a\) jest zawsze większa od zera, zatem wykonując mnożenie przez obie strony nierówności nie musimy zmieniać znaku.

Krok 2. Rozwiązanie nierówności.
$$\frac{1}{1-a}\ge4a \quad\bigg/\cdot(1-a) \\
1\ge4a(1-a) \\
1\ge4a-4a^2 \\
4a^2-4a+1\ge0 \\
(2a-1)^2\ge0$$

Z racji tego iż każda liczba podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero, to dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz funkcję w postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Podana w treści zadania funkcja jest przedstawiona w postaci ogólnej w której brakuje współczynników \(b\) oraz \(c\). Jedyne co wiemy z podanej postaci ogólnej, to że \(a=1\) (bo przed \(x^2\) nie stoi żadna inna liczba).

Dlatego też skorzystamy z informacji na temat miejsc zerowych i zapiszemy wzór tej funkcji w postaci iloczynowej:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
f(x)=1\cdot(x-(-4))(x-2) \\
f(x)=1\cdot(x-(-4))(x-2) \\
f(x)=(x+4)(x-2)$$

Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci ogólnej.
Wymnażając teraz poszczególne nawiasy otrzymamy postać ogólną:
$$f(x)=x^2-2x+4x-8 \\
f(x)=x^2+2x-8$$

Mając postać ogólną możemy teraz stwierdzić, że \(b=2\) oraz \(c=-8\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności ciągu geometrycznego zapiszesz równanie typu \((3^b)^2=3^a\cdot3^c\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Skorzystanie z własności trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego.
Dla trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy:
$$(3^b)^2=3^a\cdot3^c \\
3^{2b}=3^{a+c}$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Otrzymaliśmy równanie w którym po lewej i prawej stronie znajduje się trójka w podstawie potęgi. Skoro tak, to możemy "skrócić" te trójki i zostaje nam proste równanie:
$$2b=a+c \\
b=\frac{a+c}{2}$$

Otrzymaliśmy informację, że \(b\) jest równe \(\frac{a+c}{2}\), czyli jest to dokładnie ta sama zależność, która charakteryzuje ciągi arytmetyczne, bowiem w ciągach arytmetycznych dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \\
b=\frac{a+c}{2}$$

To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za skończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
W każdym rzucie może wypaść jeden z sześciu wyników - \(1,2,3,4,5,6\). My rzucamy taką kostką trzykrotnie, zatem zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwych zdarzeń mamy \(|Ω|=6\cdot6\cdot6=216\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których otrzymamy przynajmniej \(16\) oczek. Wbrew pozorom tak wielu tych zdarzeń nie będzie, bo przecież maksymalnie możemy wyrzucić \(18\) oczek. W związku z tym pasującymi zdarzeniami są:
$$(6,6,6) \\
(5,6,6), (6,5,6), (6,6,5) \\
(6,5,5), (5,6,5), (5,5,6) \\
(4,6,6), (6,4,6), (6,6,4)$$

To oznacza, że tylko \(10\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{216}=\frac{5}{108}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy, wprowadzisz poprawne oznaczenia (patrz: Krok 1.) oraz dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania typu \(\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}-x\) lub innego podobnego (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy sobie zwizualizować całą sytuację:



Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Skoro odcinek \(FG\) jest równoległy do podstawy \(AB\), to trójkąt \(GFC\) jest podobny do trójkąta \(ABC\). To z kolei oznacza, że trójkąt \(GFC\) jest także równoboczny.

Krok 3. Zapisanie równania.
Z własności trójkątów równobocznych wiemy, że:
$$|CH|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Skoro \(GFC\) jest także trójkątem równobocznym o boku długości \(x\), to:
$$|CI|=\frac{x\sqrt{3}}{2}$$

Patrząc się na rysunek możemy dodatkowo stwierdzić, że:
$$|CI|=|CH|-x$$

Łącząc teraz wyrażenia zapisane przed chwilą otrzymujemy równanie:
$$\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}-x$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania.
Najlepiej jest całość najpierw wymnożyć przez \(2\), aby pozbyć się ułamków, a następnie przenieść iksy na lewą stronę:
$$\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}-x \quad\bigg/\cdot2 \\
x\sqrt{3}=a\sqrt{3}-2x \\
x\sqrt{3}+2x=a\sqrt{3} \\
x(2+\sqrt{3})=a\sqrt{3} \quad\bigg/:(2+\sqrt{3}) \\
x=\frac{a\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\
x=\frac{a\sqrt{3}\cdot(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})\cdot(2-\sqrt{3})} \\
x=\frac{2a\sqrt{3}-3a}{4-3} \\
x=\frac{2a\sqrt{3}-3a}{1} \\
x=2a\sqrt{3}-3a \\
x=a(2\sqrt{3}-3)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu \(C\) jako \(C=(0;y)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równania prowadzące do wyznaczenia współczynników kierunkowych prostej \(AC\) oraz \(BC\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy korzystając ze wzorów na długość odcinka zapiszesz trzy równania związane z długością odcinków \(AB\), \(AC\) oraz \(BC\), podstawiając pod współrzędną iksową punktu \(C\) wartość \(x=0\) (np. \(AC=\sqrt{(0-4)^2+(y-2)^2}\).
3 pkt
• Gdy ułożysz równanie w którym iloczyn współczynników kierunkowych prostych \(AC\) oraz \(BC\) ma być równy \(-1\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa ułożysz równanie do którego podstawisz długości odcinków \(AB\), \(AC\) oraz \(BC\).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie kwadratowe do postaci ogólnej z której można wyliczyć deltę (patrz: Krok 3.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy w układzie współrzędnych wskazane punkty i spróbujmy wskazać przybliżoną pozycję punktu \(C\), tak aby powstał nam kąt \(90°\).



Ten konkretny rysunek już nam nieco zdradza, że będą dwa rozwiązania tego zadania, aczkolwiek nic się nie stanie kiedy nasz szkic uwzględni tylko jedną opcję (wszystko i tak wyjdzie w trakcie liczenia). Sam rysunek ma nam tylko przybliżyć omawianą sytuację.

To co jest bardzo ważne i co powinno wynikać ze szkicu, to fakt że punkt \(C\) jest na osi \(OY\), a skoro tak, to jedną z jego współrzędnych już znamy i jest to \(x=0\). Możemy nawet zapisać, że \(C=(0;y)\). W związku z tym musimy tak naprawdę policzyć tylko współrzędną igrekową tego punktu, która w dalszej części zadania będzie oznaczana właśnie symbolem \(y\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynników kierunkowych prostej \(AC\) oraz \(BC\).
Korzystając ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty możemy zapisać, że:
$$a_{AC}=\frac{y_{C}-y_{A}}{x_{C}-x_{A}} \\
a_{AC}=\frac{y-2}{0-4} \\
a_{AC}=\frac{y-2}{-4}$$

$$a_{BC}=\frac{y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}} \\
a_{BC}=\frac{y-(-3)}{0-1} \\
a_{BC}=\frac{y+3}{-1}$$

Krok 3. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Skoro proste \(AC\) oraz \(BC\) przecinają się pod kątem prostym, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W związku z tym:
$$a_{AC}\cdot a_{BC}=-1 \\
\frac{y-2}{-4}\cdot\frac{y+3}{-1}=-1 \\
\frac{(y-2)\cdot(y+3)}{4}=-1 \\
(y-2)\cdot(y+3)=-4 \\
y^2+3y-2y-6=-4 \\
y^2+y-2=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, zatem:
Współczynniki: \(a=1,\;b=1,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=1-(-8)=1+8=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 5. Analiza otrzymanego wyniku i zapisanie rozwiązania zadania.
Otrzymaliśmy dwie możliwości współrzędnej igrekowej punktu \(C\). Żadnej z nich nie możemy odrzucić, a to oznacza, że to zadanie ma dwa rozwiązania:
$$C=(0;-2) \quad\lor\quad C=(0;1)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy oraz wprowadzisz poprawne oznaczenia (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania: \(H=a\sqrt{3}\) oraz \(2\sqrt{3}=a\cdot h\) (patrz: Krok 2. oraz 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy oraz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 3. oraz 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej ściany bocznej (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ABC'\) (patrz: Krok 6.).
6 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Zapisanie zależności między wysokością graniastosłupa i długością podstawy.
Spójrzmy na trójkąt \(ACC'\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny w którym jak widzimy przyprostokątne mają długość \(a\) oraz \(H\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych (a konkretnie z tangensa) możemy zapisać, że:
$$tg60°=\frac{H}{a} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{a} \\
H=a\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skorzystamy z informacji, która mówi nam, że ściana boczna będąca prostokątem o bokach \(a\) oraz \(H\) ma pole równe \(2\sqrt{3}\). Wiedząc, że \(H=a\sqrt{3}\) możemy zapisać, że:
$$P=a\cdot H \\
2\sqrt{3}=a\cdot a\sqrt{3} \\
2\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
a^2=2 \\
a=\sqrt{2} \quad\lor\quad a=-\sqrt{2}$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{2}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Skoro \(a=\sqrt{2}\), a wiemy że \(H=a\sqrt{3}\), to znaczy że:
$$H=\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} \\
H=\sqrt{6}$$

Krok 5. Obliczenie długości przekątnej ściany bocznej.
Skoro znamy długość \(a\) oraz \(H\) to jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej ściany bocznej, czyli długość odcinka \(AC'\). Zrobimy to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2=|AC'|^2 \\
2+6=|AC'|^2 \\
|AC'|^2=8 \\
|AC'|=\sqrt{8} \quad\lor\quad |AC'|=-\sqrt{8}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AC'|=\sqrt{8}\).

Krok 6. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC'\).
Dla przejrzystości obliczeń naszkicujmy sobie nasz kluczowy trójkąt \(ABC'\) i nanieśmy na niego dane, które obliczyliśmy w poprzednich krokach:



Teraz naszym zadaniem jest obliczenie pola powierzchni tego trójkąta, a aby to uczynić musimy poznać jeszcze jego wysokość. Widzimy, że to jest trójkąt równoramienny, dlatego mamy pewność że wysokość dzieli nam podstawę na dwie równe części. To pozwoli nam teraz obliczyć wysokość trójkąta korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+h^2=(\sqrt{8})^2 \\
\frac{2}{4}+h^2=8 \\
h^2=\frac{15}{2} \\
h=\sqrt{\frac{15}{2}} \quad\lor\quad h=-\sqrt{\frac{15}{2}}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(h=\sqrt{\frac{15}{2}}\).

Krok 7. Obliczenie pola trójkąta \(ABC'\).
Mamy już komplet danych, bowiem wiemy że podstawa trójkąta \(ABC'\) ma długość \(a=\sqrt{2}\), wiemy też że \(h=\sqrt{\frac{15}{2}}\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{15}{2}} \\
P=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}} \\
P=\frac{\sqrt{15}}{2}$$