Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Chcąc dodawać, odejmować albo porównywać ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W jaki sposób powinniśmy to zrobić, aby uniknąć przy tym błędów? Aby sprowadzić ułamki do wspólnego (czyli jednakowego) mianownika trzeba zastosować jeden z dwóch sposobów:

I sposób – oparty na wymnożeniu licznika i mianownika przez wartość mianownika drugiego ułamka:
Licznik i mianownik pierwszego ułamka mnożymy przez wartość mianownika drugiego ułamka, a licznik i mianownik ułamka drugiego mnożymy przez wartość mianownika ułamka pierwszego. Można więc powiedzieć, że sprowadzamy w ten sposób ułamki do mianownika, którego wartość jest równa iloczynowi dwóch liczb znajdujących się w mianownikach.

II sposób – z wykorzystaniem NWW (i to z tego sposobu powinniśmy częściej korzystać):
Wyznaczamy Najmniejszą Wspólną Wielokrotność (NWW) liczb, które są w mianownikach ułamków i rozszerzamy obydwa ułamki do takiej postaci, by NWW znalazło się w ich mianownikach.

O tym jak obliczamy NWW dowiesz się tutaj:

O tym jak się rozszerza i skraca ułamki, możesz przeczytać tutaj:

Zobaczmy teraz jak sprawdzą się obydwa te sposoby na konkretnych przykładach.

Przykład 1. Sprowadź do wspólnego mianownika ułamki \(\frac{2}{3}\) oraz \(\frac{3}{4}\).

I sposób:
Licznik i mianownik ułamka \(\frac{2}{3}\) pomnożymy przez \(4\) (bo czwórka znajduje się w mianowniku drugiego ułamka), zatem:
$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}$$

Licznik i mianownik ułamka \(\frac{3}{4}\) pomnożymy przez \(3\) (bo trójka znajduje się w mianowniku pierwszego ułamka), zatem:
$$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12}$$

Właśnie w ten oto sposób doprowadziliśmy dwa ułamki do wspólnego mianownika – teraz jeden i drugi ułamek ma w mianowniku liczbę \(12\).

II sposób:
Na początek wyznaczmy NWW liczb \(3\) i \(4\) (czyli tych liczb, które znalazły się w mianownikach). NWW w tym przypadku jest równe \(12\), a to oznacza, że ułamki \(\frac{2}{3}\) oraz \(\frac{3}{4}\) będziemy chcieli rozszerzyć w taki sposób, by w mianowniku mieć \(12\). Jak tego dokonamy?

W przypadku ułamka \(\frac{2}{3}\) musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(4\), otrzymując:
$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot4}{3\cdot4}=\frac{8}{12}$$

W przypadku ułamka \(\frac{3}{4}\) musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(3\), otrzymując:
$$\frac{3}{4}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12}$$

No dobrze, dlaczego więc ten drugi sposób jest lepszy, skoro tak naprawdę otrzymaliśmy identyczne wyniki, a i same obliczenia wyglądały tak samo? Wszystko wyjaśni się na drugim przykładzie:

Przykład 2. Sprowadź do wspólnego mianownika ułamki \(\frac{1}{6}\) oraz \(\frac{1}{4}\).

I sposób:
Analogicznie jak w pierwszym przykładzie – licznik i mianownik pierwszego ułamka pomnożymy przez \(4\), a licznik i mianownik drugiego ułamka pomnożymy przez \(6\):
$$\frac{1}{6}=\frac{1\cdot4}{6\cdot4}=\frac{4}{24} \\
\frac{1}{4}=\frac{1\cdot6}{4\cdot6}=\frac{6}{24}$$
Otrzymane ułamki owszem są poprawnie sprowadzone do wspólnego mianownika, ale nie jest to najprostsza forma jaką mogliśmy uzyskać. Tak prawdę mówiąc, powinniśmy jeszcze te ułamki skrócić dzieląc liczniki i mianowniki przez \(2\). Tego problemu nie będziemy mieć stosując drugi sposób.

II sposób:
NWW liczb \(6\) i \(4\) to \(12\). Zatem sprowadzamy obydwa ułamki do mianownika równego \(12\):
$$\frac{1}{6}=\frac{1\cdot2}{6\cdot2}=\frac{2}{12} \\
\frac{1}{4}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}=\frac{3}{12}$$

Otrzymane wyniki w pierwszym i drugim sposobie nieco się różnią i choć obydwa są poprawne, to ten drugi sposób jest jednak znacznie lepszy, bo to właśnie on dał nam prostszą postać.

Oczywiście stosowanie pierwszego sposobu nie jest błędem, zwłaszcza jeśli chcemy sprowadzić te ułamki do wspólnego mianownika choćby po to, by je porównać (czyli określić, który jest np. większy). Jeżeli jest to jednak jakieś rozbudowane zadanie arytmetyczne, to dobrze jest pamiętać o tym, by końcowy wynik podać w jak najprostszej postaci. Ale jest jeszcze jedna zaleta stosowania metody z NWW, spójrzmy na poniższy przykład:

Przykład 3. Sprowadź do wspólnego mianownika ułamki \(\frac{3}{5}\) oraz \(\frac{7}{15}\).

I sposób:
Podobnie jak w poprzednich przykładach – licznik oraz mianownik pierwszego ułamka pomnożymy przez \(15\), natomiast licznik i mianownik drugiego ułamka pomnożymy przez \(5\):
$$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot15}{5\cdot15}=\frac{45}{75} \\
\frac{7}{15}=\frac{7\cdot5}{15\cdot5}=\frac{35}{75}$$

II sposób:
NWW liczb \(5\) i \(15\) to \(15\). To oznacza, że tak naprawdę nie musimy rozszerzać ułamka \(\frac{7}{15}\), wystarczy tylko rozszerzyć ułamek \(\frac{3}{5}\) do takiej postaci, by w mianowniku znalazła się liczba \(15\).
$$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot3}{5\cdot3}=\frac{9}{15}$$

Jak widać, zastosowanie drugiej metody pozwoliło nam dość znacząco zmniejszyć ilość potrzebnych obliczeń.

Do tej pory rozpatrywaliśmy sytuacje, w których mieliśmy dwa ułamki zwykłe. Może się jednak zdarzyć i tak, że takich ułamków mamy więcej – w takiej sytuacji trzeba będzie już skorzystać z drugiej metody związanej z obliczeniem NWW.

Przykład 4. Sprowadź do wspólnego mianownika ułamki \(\frac{1}{3}\), \(\frac{3}{4}\) oraz \(\frac{5}{6}\).

NWW liczb \(3\), \(4\) oraz \(6\) wynosi \(24\). Zatem sprowadzamy wszystkie ułamki do mianownika równego \(24\).
$$\frac{1}{3}=\frac{1\cdot8}{3\cdot8}=\frac{8}{24} \\
\frac{3}{4}=\frac{3\cdot6}{4\cdot6}=\frac{18}{24} \\
\frac{5}{6}=\frac{5\cdot4}{6\cdot4}=\frac{20}{24}$$

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments