Liczby x, y, 19 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, przy czym x+y=8. Oblicz x i y.

Liczby \(x\), \(y\), \(19\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).

Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego (środkowego) wyrazu ciągu.

Jedną z bardziej przydatnych własności ciągów arytmetycznych jest ta, która mówi o tym, że drugi wyraz ciągu będzie średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i trzeciego. Wynika to z poniższej zależności:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$

W związku z tym:
$$a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a{3}}{2} \\
y=\frac{x+19}{2}$$

Krok 2. Utworzenie odpowiedniego układu równań.

Równanie obliczone w pierwszym kroku i równanie \(x+y=8\) z treści zadania tworzą układ równań, dzięki któremu bez problemu wyliczymy wartości \(x\) oraz \(y\):
\begin{cases}
y=\frac{x+19}{2} \\
x+y=8
\end{cases}

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.

Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, zwłaszcza że mamy już w pierwszym równaniu wyprowadzoną wartość \(y\). Zatem podstawiając \(y=\frac{x+19}{2}\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$x+\frac{x+19}{2}=8 \quad\bigg/\cdot2 \\
2x+x+19=16 \\
3x=-3 \\
x=-1$$

Do obliczenia pozostała nam jeszcze wartość \(y\) i możemy ją wyliczyć z dowolnie wybranego równania:
$$x+y=8 \\
-1+y=8 \\
y=9$$

Odpowiedź:

\(x=-1\) oraz \(y=9\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.