Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - Operon 2021
Zadanie 1. (1pkt) Dane są cztery różne liczby:
$$\frac{2}{3};\quad 0,06;\quad \frac{11}{9};\quad 0,(5)$$
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.
Każda z liczb jest ułamkiem właściwym.
Wartość każdej z liczb jest większa niż \(\frac{1}{2}\).
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Ułamkiem właściwy charakteryzuje się tym, że jego licznik jest mniejszy od mianownika. To z kolei oznacza, że ułamek właściwy jest zawsze mniejszy od \(1\).
W przypadku naszych liczb widzimy, że definicji ułamka właściwego na pewno nie spełnia liczba \(\frac{11}{9}\) (jest to tak zwany ułamek niewłaściwy, bo tutaj licznik jest większy od mianownika), więc zdanie jest fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Rzeczywiście, liczby \(\frac{2}{3}\), \(\frac{11}{9}\) oraz \(0,(5)\) są większe od \(\frac{1}{2}\), ale ułamek \(0,06\) jest mniejszy, więc zdanie jest fałszem.
Zadanie 3. (1pkt) Kwotę \(187 zł\) podzielono na dwie części w ten sposób, że jedna część była o \(20\%\) większa od drugiej. Otrzymana w ten sposób większa część kwoty to:
A. \(85 zł\)
B. \(102 zł\)
C. \(103,50 zł\)
D. \(112,20 zł\)
Wyjaśnienie:
Do treści zadania musimy wprowadzić następujące oznaczenia:
\(x\) - pierwsza część kwoty (ta mniejsza)
\(1,2x\) - druga część kwoty (ta o \(20\%\) większa)
Łącznie suma tych dwóch części daje \(187\) złotych, więc:
$$x+1,2x=187 \\
2,2x=187 \\
x=85$$
Celem zadania jest podanie ile wynosi ta większa kwota, czyli w naszym przypadku będzie to \(1,2x\), zatem:
$$1,2\cdot85zł=102zł$$
Ewentualnie możemy obliczoną wcześniej kwotę \(85zł\) odjąć od całości, czyli:
$$187zł-85zł=102zł$$
Zadanie 5. (1pkt) Basia ma dwie siostry. Wszystkie trzy dziewczęta mają łącznie \(45\) lat. Basia ma \(14\) lat, a różnica wieku między najstarszą a najmłodszą z sióstr wynosi \(5\) lat.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.
Basia jest najmłodszą z sióstr.
Średnia wieku wszystkich trzech sióstr wynosi \(15\) lat.
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wieku każdej z sióstr.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - wiek najstarszej siostry
\(x-5\) - wiek najmłodszej siostry
Skoro wszystkie dziewczyny mają łącznie \(45\) lat, to:
$$14+x+(x-5)=45 \\
2x+9=45 \\
2x=36 \\
x=18$$
Obliczona wartość to wiek najstarszej siostry, więc najmłodsza z sióstr będzie mieć lat:
$$18-5=13$$
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest fałszem, ponieważ jedna siostra ma \(13\) lat, czyli jest młodsza od Basi.
Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że siostry mają odpowiednio \(13\), \(14\) i \(18\) lat. To oznacza, że średnia arytmetyczna ich wieku jest równa:
$$\frac{13+14+18}{3}=\frac{45}{3}=15$$
Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie 6. (1pkt) Sumę czterech kolejnych parzystych liczb podzielnych przez \(3\) zapisano w postaci iloczynu \(2^2\cdot3^3\). Największą z tych liczb jest liczba:
A. \(27\)
B. \(30\)
C. \(36\)
D. \(42\)
Wyjaśnienie:
Zadanie brzmi dość skomplikowanie, więc ustalmy co tak naprawdę musimy policzyć. Zsumowano cztery liczby parzyste podzielne przez \(3\) (które następują po sobie) i otrzymano wynik równy \(2^2\cdot3^3\). To od razu obliczmy, co kryje się pod tym iloczynem potęg, zatem:
$$2^2\cdot3^3=4\cdot27=108$$
Zastanówmy się teraz, czym są liczby parzyste podzielne przez \(3\). To tak naprawdę muszą być liczby, które są jednocześnie podzielne przez \(2\) i przez \(3\), czyli są podzielne przez \(6\). Moglibyśmy więc zapisać, że pierwsza taka liczba to \(6x\), a każda kolejna będzie od niej o \(6\) większa, czyli:
\(6x\) - pierwsza liczba
\(6x+6\) - druga liczba
\(6x+12\) - trzecia liczba
\(6x+18\) - czwarta liczba
Skoro suma tych liczba ma być równa \(108\), to:
$$6x+6x+6+6x+12+6x+18=108 \\
24x+36=108 \\
24x=72 \\
x=3$$
Największa z liczb jest opisana jako \(6x+18\), czyli będzie ona równa:
$$6\cdot3+18=18+18=36$$
Zadanie 8. (1pkt) Na uszycie \(15\) spódnic potrzeba \(21 m\) materiału.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Na uszycie trzech spódnic \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\) materiału.
A. wystarczą \(4 m\)
B. wystarczy \(5 m\)
Z \(33 m\) materiału można uszyć co najwyżej \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) spódnice.
C. \(23\)
D. \(24\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Skoro na uszycie \(15\) spódnic potrzeba \(21m\) materiału, to na uszycie pięciokrotnie mniejszej liczby sztuk (czyli trzech sztuk), trzeba pięć razy mniej materiału. To oznacza, że potrzebujemy:
$$21m:5=4,2m$$
Wniosek z tego płynie taki, że \(4m\) materiału to za mało, więc prawidłową odpowiedzią będzie informacja, że wystarczy \(5m\) materiału.
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Skoro \(21m\) materiału starczy na \(15\) spódnic, to na każdą spódnicę potrzebujemy \(\frac{21m}{15}=1,4m\) materiału. To oznacza, że \(33m\) materiału starczy na \(\frac{33}{1,4}\approx23,6\) spódnic. Wniosek jest więc taki, że możemy uszyć co najwyżej \(23\) spódnice (na \(24\) zabraknie końcówki materiału).
Zadanie 9. (1pkt) Andrzej ustalił, że w czasie jazdy rowerem w ciągu każdej minuty pokonuje średnio \(650 m\). Czy Andrzej przejedzie w kwadrans \(10 km\), jeśli będzie jechał z taką prędkością?
Wybierz odpowiedź A lub B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. lub 3.
jedzie ze średnią prędkością mniejszą niż \(40\frac{km}{h}\).
w ciągu \(10 min\) przejedzie mniej niż \(6 km\).
każdy metr pokonuje w czasie krótszym niż \(0,09 s\).
Wyjaśnienie:
Gdybyśmy chcieli ustalić tylko to, czy Andrzej przejedzie \(10km\), to wystarczyłoby policzyć jaki dystans pokona w \(15\) minut, czyli wykonać mnożenie:
$$15\cdot650m=9750m=9,75km$$
To by oznaczało, że Andrzej nie pokona dystansu \(10km\). Na tym jednak to zadanie się dla nas nie kończy, ponieważ musimy jeszcze wybrać dobry powód, czyli dobrą końcówkę zdania. Możemy oczywiście próbować wyliczać każdą z potrzebnych informacji, ale jak się tak dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że jadąc z prędkością \(40\frac{km}{h}\), Andrzej pokonałby w ciągu \(15\) minut (czyli w \(\frac{1}{4}h\)) dystans równy \(\frac{1}{4}h\cdot40\frac{km}{h}=10km\). Skoro więc ten dystans nie został pokonany, to znaczy, że jechał nieco wolniej.
W związku z tym odpowiedź brzmi: "Nie, ponieważ jedzie ze średnią prędkością mniejszą niż \(40\frac{km}{h}\)".
Zadanie 11. (1pkt) Z równoległoboku o krótszym boku długości \(6\) i kącie ostrym \(60°\) wycięto prostokąt o wymiarach największych z możliwych. Długość wyciętego w ten sposób prostokąta była dwa razy większa niż jego szerokość.
Drugi z boków danego równoległoboku miał długość:
A. \(3\sqrt{3}+3\)
B. \(6\sqrt{3}\)
C. \(6\sqrt{3}+3\)
D. \(12\sqrt{3}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy omawiany w treści zadania prostokąt i przy okazji wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
Z analizy rysunku wynika, że długość prostokąta będzie dwa razy większa niż wysokość prostokąta (i tym samym równoległoboku).
Krok 2. Obliczenie wysokości równoległoboku.
Chcąc poznać wysokość równoległoboku, skorzystamy z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Spójrzmy na zaznaczony zielony trójkąt. Bok o długości \(6\) jest przeciwprostokątną naszego zielonego trójkąta prostokątnego. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), krótsza przyprostokątna będzie miała miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej, czyli w naszym przypadku \(a=3\). Tym samym dłuższa przyprostokątna będąca wysokością równoległoboku będzie miała długość \(h=3\sqrt{3}\).
Krok 3. Obliczenie długości drugiego boku równoległoboku.
Dłuższy bok równoległoboku będzie sumą długości krótszej przyprostokątnej naszego trójkąta oraz dłuższego boku prostokąta. Zgodnie z treścią zadania, ten dłuższy bok prostokąta będzie dwa razy dłuższy niż wysokość, czyli będzie miał:
$$x=2\cdot3\sqrt{3} \\
x=6\sqrt{3}$$
Skoro tak, to poszukiwany drugi bok równoległoboku będzie miał miarę:
$$b=6\sqrt{3}+3$$
Zadanie 13. (1pkt) Dany jest prostokąt, którego szerokość ma o \(2 cm\) mniej od jego długości, a jego obwód wynosi \(28 cm\).
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Przekątna tego prostokąta ma długość \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\).
A. \(2\sqrt{7}cm\)
B. \(10cm\)
Szerokość prostokąta stanowi \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) jego długości.
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{3}{4}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości boków prostokąta.
Wprowadźmy do zadania następujące obliczenia:
\(x\) - długość prostokąta
\(x-2\) szerokość prostokąta
Skoro obwód tej figury jest równy \(28\), to:
$$2\cdot+2\cdot(x-2)=28 \\
2x+2x-4=28 \\
4x-4=28 \\
4x=32 \\
x=8$$
W ten sposób obliczyliśmy długość prostokąta, a zatem jego szerokość wyniesie:
$$8-2=6$$
To oznacza, że jest to prostokąt o wymiarach \(8cm\times6cm\).
Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Sytuacja z treści zadania wygląda następująco:
Boki prostokąta oraz przekątna tworzą trójkąt prostokątny, zatem poszukiwaną długość przekątnej możemy wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa:
$$6^2+8^2=d^2 \\
36+64=d^2 \\
d^2=100 \\
d=10 \quad\lor\quad d=-10$$
Oczywiście ujemny wynik nas nie interesuje, bo długość przekątnej musi być dodania, zatem zostaje nam \(d=10cm\).
Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Szerokość prostokąta jest równa \(6cm\), długość to \(8cm\), zatem szerokość stanowi:
$$\frac{6cm}{8cm}=\frac{3}{4}$$
Zadanie 15. (1pkt) Komoda składająca się z dwóch szafek i trzech takich samych szuflad, każda o długości \(80 cm\), ma wymiary takie, jak pokazano na rysunku.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.
Całkowita pojemność komody jest większa niż \(0,5 m^3\).
Pojemność jednej szuflady wynosi \(0,08 m3\).
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Prawdopodobnie pierwszą myślą jest to, by standardowo obliczyć objętość szafek oraz szuflad, a następnie dodać te wyniki. I to jest pomysł bardzo dobry, trzeba tylko wziąć pod uwagę, że pojemność skrajnych szafek musimy obliczyć łącznie jako jeden prostopadłościan (nie damy rady obliczyć długości każdej z szafek z osobna, ale wiemy, że łącznie mają one \(1,6m-0,8m=0,8m\)). W takim razie objętość samych szafek będzie równa:
$$V_{1}=0,8m\cdot0,76m\cdot0,5 \\
V_{1}=0,304m^3$$
Teraz obliczmy objętość szuflad. Zwróć uwagę, że wysokość szuflad to \(0,76m-0,16m=0,6m\), czyli objętość będzie równa:
$$V_{2}=0,8m\cdot0,6m\cdot0,5 \\
V_{2}=0,24m^3$$
Objętość całej komody jest zatem równa:
$$V_{k}=0,304m^2+0,24m^2 \\
V_{k}=0,544m^2$$
Całkowita pojemność komody jest zatem większa niż \(0,5 m^3\), czyli zdanie jest prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W poprzednim kroku obliczyliśmy, że objętość trzech szuflad wynosi \(0,24m^3\). Skoro są to trzy jednakowe szuflady, to objętość każdej z nich będzie równa:
$$V=0,24m^3:3 \\
V=0,08m^3$$
Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie 16. (2pkt) Uzasadnij, że istnieje tylko jeden ułamek o mianowniku \(10\), który jest większy niż \(\frac{2}{3}\) i mniejszy niż \(\frac{4}{5}\).
Odpowiedź
Udowodniono, wskazując, że jedynym takim ułamkiem jest \(\frac{7}{10}\).
Wyjaśnienie:
Do zadania można podejść na różne sposoby. Moglibyśmy zauważyć, że \(\frac{2}{3}=0,(6)\) i że \(\frac{4}{5}=0,8\). Jedynym ułamkiem o mianowniku \(10\), który jest pomiędzy tymi liczbami będzie ułamek \(\frac{7}{10}\), co zakończyłoby nasze dowodzenie.
Ewentualnie, dobrym pomysłem byłoby też rozszerzenie wszystkich ułamków w taki sposób, by w mianowniku ułamków znalazł się mianownik równy \(30\). Dlaczego \(30\)? Ponieważ jest to NWW liczb \(3\), \(5\) oraz \(10\). Zatem:
$$\frac{2}{3}=\frac{20}{30} \\
\frac{4}{5}=\frac{24}{30}$$
Istnieje tylko jeden ułamek zwykły, który jest większy od \(\frac{20}{30}\) i mniejszy od \(\frac{24}{30}\), który jest jednocześnie skracalny do ułamka o mianowniku \(10\) i tym ułamkiem jest \(\frac{21}{30}\), który skróci się do postaci \(\frac{7}{10}\).
Zadanie 17. (3pkt) Podczas druku książki o nakładzie \(15\) tysięcy sztuk zniszczyło się \(1,4\%\) przygotowanego papieru. Jeden egzemplarz książki zawiera \(9\) arkuszy papieru, sprzedawanego w ryzach zawierających \(500\) arkuszy. Do wydrukowania całego nakładu przygotowano \(275\) ryz papieru. Oblicz, ile arkuszy papieru pozostało po wydrukowaniu całego nakładu tej książki.
Wyjaśnienie:
Mamy \(15\) tysięcy książek, a każda z nich składa się z \(9\) arkuszy papieru. To oznacza, że liczba zadrukowanych arkuszy jest równa:
$$15000\cdot9=135000$$
Do wydrukowania przygotowano \(275\) ryz papieru, a każda ryza to \(500\) arkuszy, więc liczba przygotowanych arkuszy jest równa:
$$275\cdot500=137500$$
Podczas druku zniszczono \(1,4\%\) przygotowanego papieru (uwaga - tu jest spora pułapka, bo mowa jest o przygotowanym papierze, a nie zużytym). Skoro przygotowano \(137500\) arkuszy papieru, to zniszczonych arkuszy jest w takim razie:
$$0,014\cdot137500=1925$$
Łącznie liczba arkuszy zużytych na druk książki oraz zniszczony papier jest równa:
$$135000+1925=136925$$
W treści zadania pytają się nas, ile zostało arkuszy, a więc skoro było \(137500\) arkuszy, a my zużyliśmy \(136925\), to zostało nam:
$$137500-136925=575$$
To oznacza, że zostało \(575\) arkuszy papieru.
Zadanie 18. (2pkt) Pole trójkąta o danych długościach boków: \(a, b, c\), można obliczyć według wzoru:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
\(S\) – pole trójkąta, \(p\) – połowa obwodu trójkąta.
Wykorzystaj dany wzór, aby obliczyć pole trójkąta o bokach: \(6\), \(7\) i \(11\).
Odpowiedź
\(S=6\sqrt{10}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie połowy obwodu trójkąta.
Do naszego wzoru musimy podstawić m.in. wartość \(p\), czyli połowy obwodu trójkąta. Skoro ma to być trójkąt o bokach \(6\), \(7\) i \(11\), to nasze \(p\) będzie równe:
$$p=\frac{6+7+11}{2} \\
p=\frac{24}{2} \\
p=12$$
Krok 2. Obliczenie pola trójkąta.
Korzystając teraz z podanego wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$S=\sqrt{12\cdot(12-6)(12-7)(12-11)} \\
S=\sqrt{12\cdot6\cdot5\cdot1} \\
S=\sqrt{360}$$
Otrzymany wynik jest już poprawny (i jak tak to zostawimy, to nic się nie stanie), ale dobrą praktyką byłoby jeszcze wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka, zatem:
$$S=\sqrt{360}=\sqrt{36\cdot10}=6\sqrt{10}$$
Zadanie 19. (3pkt) W przepisie na surówkę stosunek ilości kapusty do ilości marchewki wynosi \(7:3\). Według tego przepisu jedna porcja otrzymanej surówki waży \(18 dag\). Oblicz, ile dekagramów kapusty i ile dekagramów marchewki należy przygotować, aby wykonać \(15\) porcji takiej surówki.
Odpowiedź
\(189dag\) kapusty oraz \(81dag\) marchewki
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ile dekagramów surówki trzeba przygotować.
Jedna porcja surówki waży \(18dag\), więc \(15\) porcji surówki będzie ważyć:
$$15\cdot18dag=270dag$$
Krok 2. Obliczenie ile dekagramów kapusty i marchewki trzeba przygotować.
Jeżeli stosunek ilości kapusty do ilości marchewki wynosi \(7:3\), to możemy zapisać, że:
\(7x\) - tyle potrzeba kapusty
\(3x\) - tyle potrzeba marchewki
Skoro nasze składniki mają łącznie ważyć \(270dag\), to:
$$7x+3x=270dag \\
10x=270dag \\
x=27dag$$
Teraz zgodnie z oznaczeniami, możemy zapisać, że:
Kapusta: \(7\cdot27dag=189dag\)
Marchewka: \(3\cdot27dag=81dag\)
Dziękuję, mogę popracować z uczniami nad arkuszem, pozdrawiam
bardzo fajnie że jest podane wytłumaczenie bod zadaniem dzięki temu jak teraz robię sobie powtórkę i zrobię cos źle mogę sprawdzić co
fajne zadania bardzo dobrze wytłumaczone