Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Operon 2021 – Odpowiedzi

1) FAŁSZ

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Ułamkiem właściwy charakteryzuje się tym, że jego licznik jest mniejszy od mianownika. To z kolei oznacza, że ułamek właściwy jest zawsze mniejszy od \(1\).

W przypadku naszych liczb widzimy, że definicji ułamka właściwego na pewno nie spełnia liczba \(\frac{11}{9}\) (jest to tak zwany ułamek niewłaściwy, bo tutaj licznik jest większy od mianownika), więc zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Rzeczywiście, liczby \(\frac{2}{3}\), \(\frac{11}{9}\) oraz \(0,(5)\) są większe od \(\frac{1}{2}\), ale ułamek \(0,06\) jest mniejszy, więc zdanie jest fałszem.

A

Chcąc obliczyć wartość tego wyrażenia trzeba pamiętać o kolejności wykonywania działań - najpierw musimy zrobić dzielenie. Aby ułatwić sobie obliczenia, dobrze byłoby zamienić wszystkie liczby na ułamki niewłaściwe, zatem:
$$-1\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}:(-0,5)= \\
=-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}:\left(-\frac{1}{2}\right)= \\
=-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\cdot\left(-\frac{2}{1}\right)= \\
=-\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=-\frac{12}{2}=-6$$

B

Do treści zadania musimy wprowadzić następujące oznaczenia:
\(x\) - pierwsza część kwoty (ta mniejsza)
\(1,2x\) - druga część kwoty (ta o \(20\%\) większa)

Łącznie suma tych dwóch części daje \(187\) złotych, więc:
$$x+1,2x=187 \\
2,2x=187 \\
x=85$$

Celem zadania jest podanie ile wynosi ta większa kwota, czyli w naszym przypadku będzie to \(1,2x\), zatem:
$$1,2\cdot85zł=102zł$$

Ewentualnie możemy obliczoną wcześniej kwotę \(85zł\) odjąć od całości, czyli:
$$187zł-85zł=102zł$$

A

Do zadania można podejść na różne sposoby, można byłoby przykładowo zacząć od wymnożenia obydwu stron równania przez \(6\), tak aby pozbyć się wszystkich ułamków. Nie mniej jednak, najszybszym sposobem będzie chyba wymnożenie tego na krzyż, zatem:
$$\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{5}{6} \\
(x+2)\cdot6=3\cdot5 \\
6x+12=15 \\
6x=3 \\
x=\frac{1}{2}$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Obliczenie wieku każdej z sióstr.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(x\) - wiek najstarszej siostry
\(x-5\) - wiek najmłodszej siostry

Skoro wszystkie dziewczyny mają łącznie \(45\) lat, to:
$$14+x+(x-5)=45 \\
2x+9=45 \\
2x=36 \\
x=18$$

Obliczona wartość to wiek najstarszej siostry, więc najmłodsza z sióstr będzie mieć lat:
$$18-5=13$$

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Pierwsze zdanie jest fałszem, ponieważ jedna siostra ma \(13\) lat, czyli jest młodsza od Basi.

Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Wiemy już, że siostry mają odpowiednio \(13\), \(14\) i \(18\) lat. To oznacza, że średnia arytmetyczna ich wieku jest równa:
$$\frac{13+14+18}{3}=\frac{45}{3}=15$$

Zdanie jest więc prawdą.

C

Zadanie brzmi dość skomplikowanie, więc ustalmy co tak naprawdę musimy policzyć. Zsumowano cztery liczby parzyste podzielne przez \(3\) (które następują po sobie) i otrzymano wynik równy \(2^2\cdot3^3\). To od razu obliczmy, co kryje się pod tym iloczynem potęg, zatem:
$$2^2\cdot3^3=4\cdot27=108$$

Zastanówmy się teraz, czym są liczby parzyste podzielne przez \(3\). To tak naprawdę muszą być liczby, które są jednocześnie podzielne przez \(2\) i przez \(3\), czyli są podzielne przez \(6\). Moglibyśmy więc zapisać, że pierwsza taka liczba to \(6x\), a każda kolejna będzie od niej o \(6\) większa, czyli:
\(6x\) - pierwsza liczba
\(6x+6\) - druga liczba
\(6x+12\) - trzecia liczba
\(6x+18\) - czwarta liczba

Skoro suma tych liczba ma być równa \(108\), to:
$$6x+6x+6+6x+12+6x+18=108 \\
24x+36=108 \\
24x=72 \\
x=3$$

Największa z liczb jest opisana jako \(6x+18\), czyli będzie ona równa:
$$6\cdot3+18=18+18=36$$

C

Na początek obliczmy wartość podanego wyrażenia, pamiętając oczywiście o kolejności wykonywania działań (najpierw dzielenie, potem dodawanie):
$$-4+3\cdot(-2)=-4+(-6)=-4-6=-10$$

Wartość tego wyrażenia ma być pomniejszona o liczbę \((-5)\), czyli:
$$-10-(-5)=-10+5=-5$$

B, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Skoro na uszycie \(15\) spódnic potrzeba \(21m\) materiału, to na uszycie pięciokrotnie mniejszej liczby sztuk (czyli trzech sztuk), trzeba pięć razy mniej materiału. To oznacza, że potrzebujemy:
$$21m:5=4,2m$$

Wniosek z tego płynie taki, że \(4m\) materiału to za mało, więc prawidłową odpowiedzią będzie informacja, że wystarczy \(5m\) materiału.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Skoro \(21m\) materiału starczy na \(15\) spódnic, to na każdą spódnicę potrzebujemy \(\frac{21m}{15}=1,4m\) materiału. To oznacza, że \(33m\) materiału starczy na \(\frac{33}{1,4}\approx23,6\) spódnic. Wniosek jest więc taki, że możemy uszyć co najwyżej \(23\) spódnice (na \(24\) zabraknie końcówki materiału).

B. 1,

Gdybyśmy chcieli ustalić tylko to, czy Andrzej przejedzie \(10km\), to wystarczyłoby policzyć jaki dystans pokona w \(15\) minut, czyli wykonać mnożenie:
$$15\cdot650m=9750m=9,75km$$

To by oznaczało, że Andrzej nie pokona dystansu \(10km\). Na tym jednak to zadanie się dla nas nie kończy, ponieważ musimy jeszcze wybrać dobry powód, czyli dobrą końcówkę zdania. Możemy oczywiście próbować wyliczać każdą z potrzebnych informacji, ale jak się tak dobrze przyjrzymy, to zauważymy, że jadąc z prędkością \(40\frac{km}{h}\), Andrzej pokonałby w ciągu \(15\) minut (czyli w \(\frac{1}{4}h\)) dystans równy \(\frac{1}{4}h\cdot40\frac{km}{h}=10km\). Skoro więc ten dystans nie został pokonany, to znaczy, że jechał nieco wolniej.

W związku z tym odpowiedź brzmi: "Nie, ponieważ jedzie ze średnią prędkością mniejszą niż \(40\frac{km}{h}\)".

D

Pani Ela ma łącznie \(2+1+3=6\) banknotów. Chcąc zapłacić za zakupy jednym banknotem, może użyć jednego z dwóch o nominale \(50zł\) lub o nominale \(20zł\). Pasujących banknotów mamy więc \(2+1=3\) sztuki. To oznacza, że prawdopodobieństwo, że że pani Ela za te zakupy zapłaci jednym banknotem wynosi:
$$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy omawiany w treści zadania prostokąt i przy okazji wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:


Z analizy rysunku wynika, że długość prostokąta będzie dwa razy większa niż wysokość prostokąta (i tym samym równoległoboku).

Krok 2. Obliczenie wysokości równoległoboku.
Chcąc poznać wysokość równoległoboku, skorzystamy z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Spójrzmy na zaznaczony zielony trójkąt. Bok o długości \(6\) jest przeciwprostokątną naszego zielonego trójkąta prostokątnego. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), krótsza przyprostokątna będzie miała miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej, czyli w naszym przypadku \(a=3\). Tym samym dłuższa przyprostokątna będąca wysokością równoległoboku będzie miała długość \(h=3\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości drugiego boku równoległoboku.
Dłuższy bok równoległoboku będzie sumą długości krótszej przyprostokątnej naszego trójkąta oraz dłuższego boku prostokąta. Zgodnie z treścią zadania, ten dłuższy bok prostokąta będzie dwa razy dłuższy niż wysokość, czyli będzie miał:
$$x=2\cdot3\sqrt{3} \\
x=6\sqrt{3}$$

Skoro tak, to poszukiwany drugi bok równoległoboku będzie miał miarę:
$$b=6\sqrt{3}+3$$

A, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Mamy wyrażenie, w którym znalazły się jednakowe podstawy potęg, zatem będziemy dodawać/odejmować wykładniki:
$$a^4\cdot a^3:a^2=a^{4+3-2}=a^5$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$(a^2 b)^3\cdot b=(a^2)^3\cdot b^3\cdot b=a^{2\cdot3}\cdot b^{2+1}=a^6\cdot b^4$$

B, D

Krok 1. Obliczenie długości boków prostokąta.
Wprowadźmy do zadania następujące obliczenia:
\(x\) - długość prostokąta
\(x-2\) szerokość prostokąta

Skoro obwód tej figury jest równy \(28\), to:
$$2\cdot+2\cdot(x-2)=28 \\
2x+2x-4=28 \\
4x-4=28 \\
4x=32 \\
x=8$$

W ten sposób obliczyliśmy długość prostokąta, a zatem jego szerokość wyniesie:
$$8-2=6$$

To oznacza, że jest to prostokąt o wymiarach \(8cm\times6cm\).

Krok 2. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Boki prostokąta oraz przekątna tworzą trójkąt prostokątny, zatem poszukiwaną długość przekątnej możemy wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa:
$$6^2+8^2=d^2 \\
36+64=d^2 \\
d^2=100 \\
d=10 \quad\lor\quad d=-10$$

Oczywiście ujemny wynik nas nie interesuje, bo długość przekątnej musi być dodania, zatem zostaje nam \(d=10cm\).

Krok 3. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Szerokość prostokąta jest równa \(6cm\), długość to \(8cm\), zatem szerokość stanowi:
$$\frac{6cm}{8cm}=\frac{3}{4}$$

A

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(DCE\).
Kąt DCE składa się z kąta prostego oraz kąta \(BCE\). Jeżeli trójkąt \(BEC\) jest równoboczny, to kąt \(BCE\) jest kątem o mierze \(60°\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle DCE|=90°+60°=150°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(CDE\).
Trójkąt \(DEC) jest trójkątem równoramiennym (boki \(DC) oraz \(CE) mają jednakową długość, ponieważ bok kwadratu i trójkąta ma tą samą miarę). Z własności takich trójkątów wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro kąt między ramionami ma \(150°\), to na kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-150°=30°\). Tym samym kąt \(CDE\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle CDE|=30°:2=15°$$

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Prawdopodobnie pierwszą myślą jest to, by standardowo obliczyć objętość szafek oraz szuflad, a następnie dodać te wyniki. I to jest pomysł bardzo dobry, trzeba tylko wziąć pod uwagę, że pojemność skrajnych szafek musimy obliczyć łącznie jako jeden prostopadłościan (nie damy rady obliczyć długości każdej z szafek z osobna, ale wiemy, że łącznie mają one \(1,6m-0,8m=0,8m\)). W takim razie objętość samych szafek będzie równa:
$$V_{1}=0,8m\cdot0,76m\cdot0,5 \\
V_{1}=0,304m^3$$

Teraz obliczmy objętość szuflad. Zwróć uwagę, że wysokość szuflad to \(0,76m-0,16m=0,6m\), czyli objętość będzie równa:
$$V_{2}=0,8m\cdot0,6m\cdot0,5 \\
V_{2}=0,24m^3$$

Objętość całej komody jest zatem równa:
$$V_{k}=0,304m^2+0,24m^2 \\
V_{k}=0,544m^2$$

Całkowita pojemność komody jest zatem większa niż \(0,5 m^3\), czyli zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
W poprzednim kroku obliczyliśmy, że objętość trzech szuflad wynosi \(0,24m^3\). Skoro są to trzy jednakowe szuflady, to objętość każdej z nich będzie równa:
$$V=0,24m^3:3 \\
V=0,08m^3$$

Zdanie jest więc prawdą.

Udowodniono, wskazując, że jedynym takim ułamkiem jest \(\frac{7}{10}\).

Do zadania można podejść na różne sposoby. Moglibyśmy zauważyć, że \(\frac{2}{3}=0,(6)\) i że \(\frac{4}{5}=0,8\). Jedynym ułamkiem o mianowniku \(10\), który jest pomiędzy tymi liczbami będzie ułamek \(\frac{7}{10}\), co zakończyłoby nasze dowodzenie.

Ewentualnie, dobrym pomysłem byłoby też rozszerzenie wszystkich ułamków w taki sposób, by w mianowniku ułamków znalazł się mianownik równy \(30\). Dlaczego \(30\)? Ponieważ jest to NWW liczb \(3\), \(5\) oraz \(10\). Zatem:
$$\frac{2}{3}=\frac{20}{30} \\
\frac{4}{5}=\frac{24}{30}$$

Istnieje tylko jeden ułamek zwykły, który jest większy od \(\frac{20}{30}\) i mniejszy od \(\frac{24}{30}\), który jest jednocześnie skracalny do ułamka o mianowniku \(10\) i tym ułamkiem jest \(\frac{21}{30}\), który skróci się do postaci \(\frac{7}{10}\).

\(575\)

Mamy \(15\) tysięcy książek, a każda z nich składa się z \(9\) arkuszy papieru. To oznacza, że liczba zadrukowanych arkuszy jest równa:
$$15000\cdot9=135000$$

Do wydrukowania przygotowano \(275\) ryz papieru, a każda ryza to \(500\) arkuszy, więc liczba przygotowanych arkuszy jest równa:
$$275\cdot500=137500$$

Podczas druku zniszczono \(1,4\%\) przygotowanego papieru (uwaga - tu jest spora pułapka, bo mowa jest o przygotowanym papierze, a nie zużytym). Skoro przygotowano \(137500\) arkuszy papieru, to zniszczonych arkuszy jest w takim razie:
$$0,014\cdot137500=1925$$

Łącznie liczba arkuszy zużytych na druk książki oraz zniszczony papier jest równa:
$$135000+1925=136925$$

W treści zadania pytają się nas, ile zostało arkuszy, a więc skoro było \(137500\) arkuszy, a my zużyliśmy \(136925\), to zostało nam:
$$137500-136925=575$$

To oznacza, że zostało \(575\) arkuszy papieru.

\(S=6\sqrt{10}\)

Krok 1. Obliczenie połowy obwodu trójkąta.
Do naszego wzoru musimy podstawić m.in. wartość \(p\), czyli połowy obwodu trójkąta. Skoro ma to być trójkąt o bokach \(6\), \(7\) i \(11\), to nasze \(p\) będzie równe:
$$p=\frac{6+7+11}{2} \\
p=\frac{24}{2} \\
p=12$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta.
Korzystając teraz z podanego wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$S=\sqrt{12\cdot(12-6)(12-7)(12-11)} \\
S=\sqrt{12\cdot6\cdot5\cdot1} \\
S=\sqrt{360}$$

Otrzymany wynik jest już poprawny (i jak tak to zostawimy, to nic się nie stanie), ale dobrą praktyką byłoby jeszcze wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka, zatem:
$$S=\sqrt{360}=\sqrt{36\cdot10}=6\sqrt{10}$$

\(189dag\) kapusty oraz \(81dag\) marchewki

Krok 1. Obliczenie ile dekagramów surówki trzeba przygotować.
Jedna porcja surówki waży \(18dag\), więc \(15\) porcji surówki będzie ważyć:
$$15\cdot18dag=270dag$$

Krok 2. Obliczenie ile dekagramów kapusty i marchewki trzeba przygotować.
Jeżeli stosunek ilości kapusty do ilości marchewki wynosi \(7:3\), to możemy zapisać, że:
\(7x\) - tyle potrzeba kapusty
\(3x\) - tyle potrzeba marchewki

Skoro nasze składniki mają łącznie ważyć \(270dag\), to:
$$7x+3x=270dag \\
10x=270dag \\
x=27dag$$

Teraz zgodnie z oznaczeniami, możemy zapisać, że:
Kapusta: \(7\cdot27dag=189dag\)
Marchewka: \(3\cdot27dag=81dag\)