Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{5}{12}\). Oblicz \(cosα\).
Wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Na tej podstawie ułóżmy odpowiedni układ równań:
\begin{cases}
\frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}
\begin{cases}
\frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \quad\bigg/\cdot cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}\begin{cases}
\frac{5}{12}cosα=sinα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}
Podstawiamy wartość \(sinα\) z pierwszego równania do drugiego:
$$\left(\frac{5}{12}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\
\frac{25}{144}cos^2α+cos^2α=1 \\
\frac{25}{144}cos^2α+\frac{144}{144}cos^2α=1 \\
\frac{169}{144}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \\
cos^2α=\frac{144}{169} \\
cosα=\sqrt{\frac{144}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{144}{169}} \\
cosα=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \\
cosα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{12}{13}$$
Z racji tego, że w zadaniu jest mowa o kącie ostrym, to \(cosα\gt0\), a więc odrzucamy rozwiązanie ze znakiem ujemnym, zatem \(cosα=\frac{12}{13}\).
\(cosα=\frac{12}{13}\)
Nie można było z pitagorasa?
Można, ale pod jednym warunkiem – że długości przyprostokątnych przyjmiesz jako 5x oraz 12x, a nie 5 oraz 12 :) Nie możemy zakładać, że przyprostokątne mają na pewno długość 5 oraz 12, bo równie dobrze mogą mieć 10 oraz 24.
Skąd się tam wzięło 144/144?
Zamieniłem 1 na ułamek 144/144, aby pokazać jak potem wykonać odejmowanie ułamków ;)