Punkty \(A=(-1,3)\) i \(C=(-5,5)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe:
\(10\)
\(25\)
\(50\)
\(100\)
Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AC\).
Znając współrzędne dwóch punktów możemy obliczyć długość danego odcinka za pomocą wzoru:
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(-5-(-1))^2+(5-3)^2} \\
|AC|=\sqrt{(-4)^2+2^2} \\
|AC|=\sqrt{16+4} \\
|AC|=\sqrt{20}$$
Warto też dodać, że zgodnie z treścią zadania jest to przekątna naszego kwadratu.
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni kwadratu.
Najprościej będzie tutaj skorzystać ze wzoru na pole kwadratu z wykorzystaniem długości przekątnej:
$$P=\frac{1}{2}\cdot d^2 \\
P=\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{20})^2 \\
P=\frac{1}{2}\cdot20 \\
P=10$$
Odpowiedź:
A. \(10\)
Mam jedno pytanie: dlaczego takie pole a nie to- P=a^2?
A to dlatego, że odcinek AC jest przekątną, więc do obliczenia pola wykorzystałem od razu wzór z nią związany ;) Oczywiście można też zastosować i standardowy wzór P=a^2, ale wtedy trzeba jeszcze wyliczyć długość boku a. Nie jest to trudne, bo wiemy przecież, że przekątna kwadratu to a√2, więc a=√10. Wynik końcowy wyjdzie ten sam ;)