Sumy algebraiczne

Suma algebraiczna to tak naprawdę dodawanie i odejmowanie jednomianów, a precyzyjniej mówiąc to jednomiany połączone ze sobą znakiem dodawania lub odejmowania. Przykładowo jeżeli mamy jednomian \(2a\) i dodajemy do niego jednomian \(3b\) to otrzymamy wyrażenie \(2a+3b\), który nazywamy właśnie sumą algebraiczną.

W przypadku dodawania i odejmowania jednomianów ważne jest to, czy poszczególne jednomiany są podobne, czy też nie. W temacie poświęconemu jednomianom mówiliśmy sobie, że jednomiany podobne to takie, które różnią się ze sobą tylko liczbą (współczynnikiem wielomianu). Jednomianami podobnymi będą więc przykładowo \(5x\) oraz \(6x\), czy też \(\frac{1}{2}a^2\) oraz \(7a^2\).

Kiedy dodajemy do siebie jednomiany podobne to wystarczy tak naprawdę dodać do siebie współczynniki. Spójrzmy na prosty przykład:

Przykład 1. Wykonaj dodawanie \(5x+6x\).

Gdyby zamiast iksa było tutaj coś bardziej życiowego (np. jabłka) to mielibyśmy działanie typu „pięć jabłek plus sześć jabłek”. Bez problemu bylibyśmy w stanie określić, że razem byłoby to jedenaście jabłek. Analogicznie będzie tutaj:
$$5x+6x=11x$$

Przykład 2. Wykonaj odejmowanie \(7x-3x\).

Stosując przykład z jabłkami moglibyśmy powiedzieć, że „mamy siedem jabłek, zjedliśmy trzy z nich, oblicz ile jabłek zostało”. Tak jak \(7-4=3\), tak samo:
$$7x-3x=4x$$

Przykład 3. Wykonaj dodawanie \(5x+6x+7x-8x\).

Podobnie jak to miało miejsce w poprzednich przykładach otrzymamy:
$$5x+6x+7x-8x=18x-8x=10x$$

Przykład 4. Wykonaj dodawanie \(a+a+a\).

Tak jak jabłko plus jabłko plus jabłko to trzy jabłka, tak samo \(a+a+a\) to będzie:
$$a+a+a=3a$$

Może się jednak zdarzyć, że jednomiany występujące w dodawaniu lub odejmowaniu nie będą podobne i wtedy nic za bardzo już z takim działaniem nie zrobimy, przykładowo:

Przykład 5. Wykonaj dodawanie \(5x+6y\).

Tutaj moglibyśmy zadać sobie pytanie ile to jest „pięć jabłek plus sześć samochodów”. Przez to, że tutaj jednomiany nie są podobne to niczego nie będziemy w stanie dodać i uprościć, zatem zapis \(5x+6y\) jest ostateczny.

Redukcja wyrazów podobnych
Kiedy dodajemy lub odejmujemy jednomiany podobne to sprawiamy, że cały zapis nam się mocno upraszcza. Bardzo dobrze było to widać zwłaszcza w trzecim przykładzie, gdzie z sumy algebraicznej składającej się z czterech jednomianów \(5x\), \(6x\), \(7x\) oraz \(8x\) udało nam się otrzymać jeden jednomian \(10x\). I właśnie dodawanie lub odejmowanie jednomianów podobnych nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

Najczęściej będzie tak, że będziemy dodawać lub odejmować kilka jednomianów jednocześnie i wtedy niektóre z nich będą jednomianami podobnymi, a niektóre nie. W takich sytuacjach będziemy dążyć właśnie do redukcji wyrazów podobnych i zapisywania wyniku w jak najkrótszej postaci. Spójrzmy na przykład:

Przykład 6. Wykonaj dodawanie \(3x+4x+5y\).

Widzimy wyraźnie, że w tym działaniu występują jednomiany podobne, czyli \(3x\) oraz \(4x\), które bez problemu możemy do siebie dodać. Otrzymamy zatem następującą sytuację:
$$3x+4x+5y=7x+5y$$

To co zrobiliśmy powyżej, to jest właśnie redukcja wyrazów podobnych. W początkowej sumie algebraicznej mieliśmy trzy jednomiany \(3x\), \(4x\) oraz \(5y\), a w końcowym wyniku udało nam się otrzymać już tylko sumę dwóch jednomianów, czyli \(7x\) oraz \(5y\). Jeżeli więc gdzieś w jakimś zadaniu wystąpi polecenie „zredukuj wyrazy podobne” to wystarczy właśnie wykonać dodawanie lub odejmowanie.

Przykład 7. Zredukuj wyrazy podobne \(-2a-3a+4b-b\).

Wykonując dodawanie i odejmowanie otrzymamy:
$$-2a-3a+4b-b=-5a+3b$$

Przykład 8. Zredukuj wyrazy podobne \(2a^2-5a+3a+4a^2\).

Musimy pamiętać, że jednomiany \(2a^2\) oraz np. \(3a\) nie są podobne, bo różni je potęga znajdująca się przy literce \(a\). W związku z tym:
$$2a^2-5a+3a+4a^2=6a^2-2a$$

Dodaj komentarz