Jeśli wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają jednakowe długości, to ściana boczna

Jeśli wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają jednakowe długości, to ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem \(α\), że:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają mieć jednakową długość, to powstanie nam taka oto bryła:

matura z matematyki

Krok 2. Zapisanie zależności kluczowych odcinków.
Spójrzmy teraz na nasz rysunek. Odcinek \(SE\) jest wysokością trójkąta równobocznego znajdującego się w ścianie bocznej. W związku z tym jego długość możemy zapisać jako:
$$|SE|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Teraz spójrzmy na odcinek \(OE\) - jest to połowa długości krawędzi bocznej, zatem:
$$|OE|=\frac{1}{2}a$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\).
Do wyznaczenia sinusa kąta \(α\) potrzebna nam będzie znajomość długości odcinka \(SO\), a tą wyznaczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|OE|^2+|SO|^2=|SE|^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+|SO|^2=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\
\frac{a^2}{4}+|SO|^2=\frac{3a^2}{4} \\
|SO|^2=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4} \\
|SO|^2=\frac{2a^2}{4} \\
|SO|=\frac{a\sqrt{2}}{2} \quad\lor\quad |SO|=-\frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Wartość ujemną oczywiście pomijamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości. Zostaje nam więc \(|SO|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Krok 4. Obliczenie wartości sinusa.
Teraz zgodnie z definicją sinusa możemy zapisać, że:
$$sinα=\frac{|SO|}{|SE|} \\
sinα=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} \\
sinα=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
sinα=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{a\sqrt{3}} \\
sinα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \\
sinα=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
sinα=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz