Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych

Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła \(120\) złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o \(5\) złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?

Rozwiązanie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń.

Przyjmijmy, że:
\(x\) – liczba znajomych
\(y\) – opłata miesięczna na osobę
\(120\) – łączna opłata za Internet

Po miesiącu:
\(x+2\) – liczba znajomych po upływie miesiąca
\(x-5\) – nowa opłata miesięczna na osobę
\(120\) – łączna opłata za Internet (nie uległa zmianie)

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.

Zgodnie z treścią zadania i wypisanymi przed chwilą oznaczeniami możemy zapisać, że:
\begin{cases}
x\cdot y=120 \\
(x+2)\cdot(y-5)=120
\end{cases}

\begin{cases}
y=\frac{120}{x} \\
xy-5x+2y-10=120
\end{cases}

Podstawiając wartość \(y=\frac{120}{x}\) z pierwszego równania do równania drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
x\cdot\frac{120}{x}-5x+2\cdot\frac{120}{x}-10=120 \\
\cancel{120}-5x+\frac{240}{x}-10=\cancel{120} \\
-5x+\frac{240}{x}-10=0 \quad\bigg/\cdot x \\
-5x^2-10x+240=0 \quad\bigg/:(-5) \\
x^2+2x-48$$

Ostatniego dzielenia przez \(-5\) nie musimy wykonywać, aczkolwiek uprości nam to trochę późniejsze obliczenia.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-48\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-48)=4-(-192)=4+192=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-14}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+14}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6$$

Z racji tego, że liczba osób nie może być ujemna, to jedynym rozwiązaniem jakie nam zostaje jest \(x=6\). To oznacza, że w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu grupa liczyła \(6\) osób.

Odpowiedź:

\(6\) osób

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.