Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła \(120\) złotych. Podzielono tę kwotę na równe części, by każdy ze znajomych płacił tyle samo. Po upływie miesiąca do grupy dołączyły jeszcze dwie osoby i wówczas opłata miesięczna przypadająca na każdego użytkownika zmniejszyła się o \(5\) złotych. Ile osób liczyła ta grupa w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu?
Przyjmijmy, że:
\(x\) – liczba znajomych
\(y\) – opłata miesięczna na osobę
\(120\) – łączna opłata za Internet
Po miesiącu:
\(x+2\) – liczba znajomych po upływie miesiąca
\(x-5\) – nowa opłata miesięczna na osobę
\(120\) – łączna opłata za Internet (nie uległa zmianie)
Zgodnie z treścią zadania i wypisanymi przed chwilą oznaczeniami możemy zapisać, że:
\begin{cases}
x\cdot y=120 \\
(x+2)\cdot(y-5)=120
\end{cases}
\begin{cases}
y=\frac{120}{x} \\
xy-5x+2y-10=120
\end{cases}
Podstawiając wartość \(y=\frac{120}{x}\) z pierwszego równania do równania drugiego otrzymamy:
$$\require{cancel}
x\cdot\frac{120}{x}-5x+2\cdot\frac{120}{x}-10=120 \\
\cancel{120}-5x+\frac{240}{x}-10=\cancel{120} \\
-5x+\frac{240}{x}-10=0 \quad\bigg/\cdot x \\
-5x^2-10x+240=0 \quad\bigg/:(-5) \\
x^2+2x-48$$
Ostatniego dzielenia przez \(-5\) nie musimy wykonywać, aczkolwiek uprości nam to trochę późniejsze obliczenia.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-48\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-48)=4-(-192)=4+192=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-14}{2\cdot1}=\frac{-16}{2}=-8 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+14}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6$$
Z racji tego, że liczba osób nie może być ujemna, to jedynym rozwiązaniem jakie nam zostaje jest \(x=6\). To oznacza, że w pierwszym miesiącu użytkowania Internetu grupa liczyła \(6\) osób.
\(6\) osób
