Punkty K, L, i M są środkami krawędzi BC, HG i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1

Punkty \(K\), \(L\), i \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(HG\) i \(AE\) sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \(KLM\).

punkty K, L, i M są środkami krawędzi

Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalenie tego, że trójkąt \(KLM\) jest równoboczny.

Gdybyśmy dorysowali sobie odcinki \(AK\), \(KG\) i \(EL\) to zauważymy, że za każdym razem boki naszego trójkąta \(KLM\) są przeciwprostokątnymi trójkąta prostokątnego, bo trójkąty \(AKM\), \(GKL\) oraz \(ELM\) są przystające. Wszystko powinien wyjaśnić rysunek pomocniczy.
matura z matematyki

Naszym celem będzie obliczenie długości jednego z boków trójkąta \(KLM\) (dowolnego, bo wszystkie są przecież tej samej miary). Przyjmijmy więc, że obliczymy długość odcinka \(MK\). Możemy to zrobić wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa, ale potrzebujemy jeszcze znać miarę odcinków \(AM\) oraz \(AK\). Z treści zadania wiemy, że \(|AM|=1:2=\frac{1}{2}\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(AK\). Analizowany trójkąt wygląda więc mniej więcej w ten sposób:
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AK\).

Długość odcinka \(AK\) wyliczymy Twierdzeniem Pitagorasa z trójkąta \(ABK\):
matura z matematyki

$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|BK|^2=|AK|^2 \\
1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=|AK|^2 \\
1+\frac{1}{4}=|AK|^2 \\
|AK|^2=\frac{5}{4} \\
|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}} \quad\lor\quad |AK|=-\frac{5}{4}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości, więc \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\).

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(MK\), czyli boku trójkąta równobocznego \(KLM\).

Znamy długości odcinków \(|AM|=\frac{1}{2}\) oraz \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\), możemy więc wrócić do trójkąta \(AMK\) i tym razem już bez przeszkód obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa długość odcinka \(MK\) (czyli boku trójkąta równobocznego \(KLM\)).
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AM|^2+|AK|^2=|MK|^2 \\
\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{5}{4}}\right)^2=|MK|^2 \\
|MK|^2=\frac{1}{4}+\frac{5}{4} \\
|MK|^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \\
|MK|=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

W związku z tym wiemy już, że bok naszego trójkąta równobocznego \(KLM\) ma miarę \(a=\sqrt{\frac{3}{2}}\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta równobocznego \(KLM\).

Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem:
$$P_{KLM}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$

Odpowiedź:

\(P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.