Punkty \(K\), \(L\), i \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(HG\) i \(AE\) sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \(KLM\).
Gdybyśmy dorysowali sobie odcinki \(AK\), \(KG\) i \(EL\) to zauważymy, że za każdym razem boki naszego trójkąta \(KLM\) są przeciwprostokątnymi trójkąta prostokątnego, bo trójkąty \(AKM\), \(GKL\) oraz \(ELM\) są przystające. Wszystko powinien wyjaśnić rysunek pomocniczy.
Naszym celem będzie obliczenie długości jednego z boków trójkąta \(KLM\) (dowolnego, bo wszystkie są przecież tej samej miary). Przyjmijmy więc, że obliczymy długość odcinka \(MK\). Możemy to zrobić wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa, ale potrzebujemy jeszcze znać miarę odcinków \(AM\) oraz \(AK\). Z treści zadania wiemy, że \(|AM|=1:2=\frac{1}{2}\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(AK\). Analizowany trójkąt wygląda więc mniej więcej w ten sposób:
Długość odcinka \(AK\) wyliczymy Twierdzeniem Pitagorasa z trójkąta \(ABK\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|BK|^2=|AK|^2 \\
1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=|AK|^2 \\
1+\frac{1}{4}=|AK|^2 \\
|AK|^2=\frac{5}{4} \\
|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}} \quad\lor\quad |AK|=-\frac{5}{4}$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości, więc \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\).
Znamy długości odcinków \(|AM|=\frac{1}{2}\) oraz \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\), możemy więc wrócić do trójkąta \(AMK\) i tym razem już bez przeszkód obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa długość odcinka \(MK\) (czyli boku trójkąta równobocznego \(KLM\)).
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AM|^2+|AK|^2=|MK|^2 \\
\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{5}{4}}\right)^2=|MK|^2 \\
|MK|^2=\frac{1}{4}+\frac{5}{4} \\
|MK|^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \\
|MK|=\sqrt{\frac{3}{2}}$$
W związku z tym wiemy już, że bok naszego trójkąta równobocznego \(KLM\) ma miarę \(a=\sqrt{\frac{3}{2}}\).
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem:
$$P_{KLM}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$
\(P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\)
Bok KLM powinien mieć a= √6/2
To jest dokładnie to samo co pierwiastek z ułamka 3/2 ;) Owszem, można to zapisać tak jak Ty (taki zapis jest często nawet poprawniejszy, bo nie ma nierówności w mianowniku), ale i tak za chwilę podnosimy długość tego boku do kwadratu, więc postać jakiej ja użyłem jest po prostu wygodniejsza.