Matura próbna – Matematyka – Operon 2011

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że prosta równoległa będzie opisana wzorem \(y=3x+b\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie równania w postaci kierunkowej.
Na początek przekształćmy to równanie do postaci kierunkowej, czyli postaci \(y=ax+b\):
$$-3x+y-4=0 \\
y=3x+4$$

Krok 2. Ustalenie postaci prostej równoległej.
Aby dwie proste były względem siebie równoległe, to ich współczynnik kierunkowy \(a\) musi być jednakowy. W naszym przypadku \(a=3\), zatem i nasza prosta równoległa musi mieć taki współczynnik, a to oznacza, że możemy ją opisać wzorem \(y=3x+b\).

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(b\) prostej równoległej.
Teraz naszym celem jest poznanie współczynnika \(b\), a w tym celu do równania \(y=3x+b\) podstawimy współrzędne punktu \(P=(-1,-4)\), otrzymując:
$$-4=3\cdot(-1)+b \\
-4=-3+b \\
b=-1$$

Krok 4. Zapisanie równania prostej równoległej.
Znamy już wartości współczynników \(a\) oraz \(b\) więc możemy zapisać, że nasza prosta równoległa przyjmuje wzór \(y=3x-1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(sinα+cosα\) jest równe \(\frac{a+b}{c}\) (patrz: Krok 2.), ale nie wyciągniesz z tego żadnego końcowego wniosku.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Rozpisanie wartości \(sinα+cosα\).
Korzystając z oznaczeń na rysunku spróbujmy rozpisać sinusa i cosinusa:
$$sinα+cosα=\frac{b}{c}+\frac{a}{c}=\frac{a+b}{c}$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Z własności trójkątów wiemy, że najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego jest jego przeciwprostokątna. Wiemy też, że aby trójkąt mógł w ogóle zaistnieć, to suma jego dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego boku trójkąta. To oznacza, że \(a+b\gt c\). Patrząc się na otrzymane w kroku drugim wyrażenie \(\frac{a+b}{c}\) możemy stwierdzić, że licznik tego ułamka jest na pewno większy od mianownika, a skoro tak, to wartość tego ułamka musi być większa od \(1\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, długość przekątnej podstawy jako \(d=\sqrt{a^2+b^2}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy prostopadłościanu.
Do wyznaczenia długości przekątnej bryły potrzebna nam będzie długość przekątnej podstawy, którą wyznaczymy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa. Prostopadłościan ma krawędzie długości \(a\) oraz \(b\), zatem:
$$a^2+b^2=d^2 \\
d=\sqrt{a^2+b^2}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Znamy wyrażenie opisujące długość przekątnej podstawy, wiemy że wysokość prostopadłościanu jest równa \(c\), zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$d^2+c^2=s^2 \\
(\sqrt{a^2+b^2})^2+c^2=s^2 \\
s^2=a^2+b^2+c^2 \\
s=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Otrzymany wynik jest dokładnie tym co znalazło się w treści zadania, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$x^2+5x\le6 \\
x^2+5x-6\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=5,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot1\cdot(-6)=25-(-24)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-6\) oraz \(x=1\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i rysujemy parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\langle-6;1\rangle$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(P(A\cup B)=0,7+0,6-P(A\cap B)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Aby rozwiązać to zadanie musimy ułożyć następujące równanie:
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\
0,8=0,7+0,6-P(A\cap B) \\
0,8=1,3-P(A\cap B) \\
-0,5=-P(A\cap B) \\
P(A\cap B)=0,5$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(tg30°=\frac{x}{10}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.



Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Tak naprawdę cała trudność zadania opiera się na tym, by poprawnie zapisać równanie korzystając z funkcji trygonometrycznych. Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
$$tg30°=\frac{x}{10} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{10} \\
x=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz, że \((r+4)^2+(r+6)^2=10^2\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz postać ogólną równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Korzystając z informacji z treści zadania oraz z własności stycznych do okręgu możemy sporządzić następujący szkic:



Krok 2. Ułożenie równania.
Skoro jest to trójkąt prostokątny, to możemy zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa zapisać, że:
$$(r+4)^2+(r+6)^2=10^2 \\
r^2+8r+16+r^2+12r+36=100 \\
2r^2+20r+52=100 \\
2r^2+20r-48=0 \quad\bigg/:2 \\
r^2+10r-24=0$$

Dzielenie przez \(2\) nie jest koniecznością, ale dzięki temu potem pracujemy na mniejszych liczbach. Finalnie wynik wyjdzie ten sam.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=10,\;c=-24\)
$$Δ=b^2-4ac=10^2-4\cdot1\cdot(-24)=100-(-96)=100+96=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10-14}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10+14}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Promień nie może być ujemny, zatem jedynym pasującym nam rozwiązaniem jest \(r=2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz że \(|Ω|=36\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.), ale nie policzysz ile ich jest.
2 pkt
• Gdy wypiszesz zdarzenia sprzyjające i zapiszesz, że \(|A|=15\) (patrz: Krok 2.), ale błędnie obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=36\) (patrz: Krok 1.) oraz zapiszesz, że \(|A|=15\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników, a skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich kombinacji będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których w pierwszym rzucie otrzymaliśmy wynik większy niż w rzucie drugim. Nie musimy tu zbytnio komplikować sobie sprawy, wystarczy że po prostu wypiszemy te zdarzenia:
$$(2,1) \\
(3;1), (3;2) \\
(4;1), (4;2), (4;3) \\
(5;1), (5;2), (5;3), (5;4) \\
(6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5) \\$$

To oznacza, że \(15\) przypadków spełnia warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=15\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość połowy przekątnej podstawy lub całą długość przekątnej (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość połowy podstawy, tak aby móc skorzystać później z funkcji trygonometrycznych (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wartość tangensa, ale nie podasz miary kąta.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować taki ostrosłup, zaznaczając na nim miary podane w treści zadania:



Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OCS\) , który wytworzył nam się na rysunku. W jego dolnej przyprostokątnej znajduje się odcinek oznaczony jako \(b\), który jest tak naprawdę połową długości przekątnej podstawy (tak nawiasem mówiąc, to w podstawie bryły jest kwadrat, bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny). Długość tego boku \(b\) możemy obliczyć z Twierdzenia Pitagorasa:
$$b^2+6^2=(2\sqrt{15})^2 \\
b^2+36=4\cdot15 \\
b^2+36=60 \\
b=\sqrt{24} \quad\lor\quad b=-\sqrt{24}$$

Ujemną długość odrzucamy, zatem wiemy już że \(b=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}\).

To też oznacza, że cała przekątna \(AC\) ma miarę \(d=2\cdot2\sqrt{6}=4\sqrt{6}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Już wiemy, że w podstawie naszej bryły musi znajdować się kwadrat. Jedną z własności kwadratu jest to, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Ta własność pozwoli nam uzyskać informację na temat długości krawędzi bocznej, bo skoro przekątna ma długość \(4\sqrt{6}\), to:
$$a\sqrt{2}=4\sqrt{6} \\
a=4\sqrt{6}:\sqrt{2} \\
a=4\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości boku \(c\).
Bok oznaczony jako \(c\) jest połową podstawy, którą przed chwilą wyliczyliśmy, zatem:
$$c=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3} \\
c=2\sqrt{3}$$

Krok 5. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(OES\). Znajomość długości boku \(c\) oraz znajomość wysokości ostrosłupa otwierają nam drogę do poznania poszukiwanej miary kąta. Korzystając z tangensa możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{6}{2\sqrt{3}} \\
tgα=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
tgα=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{2\cdot3} \\
tgα=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{6} \\
tgα=\sqrt{3}$$

Teraz musimy odczytać z tablic dla jakiej miary kąta tangens przyjmuje wartość równą \(\sqrt{3}\) i widzimy, że jest to kąt \(60°\).