Objętość walca

Wzór na objętość walca
Objętość walca możemy obliczyć korzystając z następującego wzoru:
$$V=P_{p}\cdot H$$

gdzie:
\(V\) – objętość walca
\(P_{p}\) – pole podstawy walca
\(H\) – wysokość walca

Z racji tego, iż w podstawie znajduje się zawsze koło, którego pole powierzchni wyliczamy ze wzoru \(P=πr^2\), to możemy też zapisać, że:
$$V=πr^2\cdot H$$

gdzie:
\(V\) – objętość walca
\(r\) – promień podstawy walca
\(H\) – wysokość walca

Spójrzmy na przykładowe zadania z wykorzystaniem wzoru na objętość walca.

Przykład 1. Oblicz objętość walca, którego promień podstawy ma długość \(r=2\), a wysokość jest równa \(H=5\).

Korzystając ze wzoru na objętość walca możemy zapisać, że:
$$V=πr^2\cdot H \\
V=π\cdot2^2\cdot5 \\
V=π\cdot4\cdot5 \\
V=20π$$

Przykład 2. Oblicz objętość walca, którego średnica podstawy ma długość \(d=4cm\), a wysokość ma długość \(H=6cm\). Wynik zaokrąglij do \(cm^3\), przyjmując przybliżenie \(π\approx3,14\).

Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy.
Pułapką w tym zadaniu jest fakt, że w treści zadania mamy podaną długość średnicy, a nam do wzoru przydałaby się długość promienia. Wiedząc, że w każdym kole promień jest dwukrotnie krótszy od średnicy możemy zapisać, że:
$$r=4cm:2 \\
r=2cm$$

Krok 2. Obliczenie objętości walca.
Wiemy już, że \(r=2cm\) oraz że \(H=6cm\). Korzystając ze wzoru na objętość walca możemy zapisać, że:
$$V=πr^2\cdot H \\
V=π\cdot(2cm)^2\cdot6cm \\
V=π\cdot4cm^2\cdot6cm \\
V=24π\;cm^3$$

Krok 3. Zaokrąglenie wyniku do \(cm^3\).
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze zaokrąglić cały wynik do pełnych \(cm^3\). Krótko mówiąc, musimy się pozbyć z zapisu wartości \(π\). Przyjmując przybliżenie \(π\approx3,14\) otrzymamy:
$$V\approx24\cdot3,14\;cm^3 \\
V\approx75,36\;cm^3\approx75\;cm^3$$

Przykład 3. Walec ma objętość \(V=50π\). Oblicz wysokość walca wiedząc, że w podstawie znajduje się koło o obwodzie \(10π\).

Krok 1. Obliczenie długości promienia podstawy.
Wiemy, że w podstawie walca znajduje się koło o obwodzie \(10π\). Obwód koła obliczamy ze wzoru \(2πr\), zatem:
$$Obw=10π \\
2πr=10π \quad\bigg/:π \\
2r=10 \\
r=5$$

Krok 2. Obliczenie wysokości walca.
Wiemy, że walec ma objętość \(V=50π\). Obliczyliśmy przed chwilą, że promień podstawy ma długość \(r=5\). W związku z tym:
$$V=πr^2\cdot H \\
50π=π\cdot5^2\cdot H \quad\bigg/:π \\
50=25\cdot H \quad\bigg/\cdot3 \\
H=2$$

Zobacz też: Objętość stożka
Zobacz też: Objętość kuli

Dodaj komentarz