Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444, a ostatni jest równy 653

Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy \(444\), a ostatni jest równy \(653\). Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o \(11\) większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie liczby wyrazów tego ciągu.

Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=444 \\
a_{n}=653 \\
r=11$$

Aby obliczyć ile jest wyrazów w tym ciągu skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
653=444+(n-1)\cdot11 \\
653=444+11n-11 \\
653-444+11=11n \\
11n=220 \\
n=20$$

To oznacza, że nasz ciąg ma \(20\) wyrazów.

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.

Sumę wszystkich wyrazów obliczymy korzystając z następującego wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n \\
S_{20}=\frac{444+653}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{1097}{2}\cdot20 \\
S_{20}=10970$$

Odpowiedź:

\(S_{20}=10970\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.