Funkcja wykładnicza – zadania maturalne

D

Wykres funkcji możemy zapisać jako \(y=a^x\). Teraz znacznie lepiej widać, że możemy do wzoru tej funkcji po prostu podstawić współrzędne punktu \(A=(1,2)\) i tym samym wyznaczyć podstawę potęgi, zatem:
$$y=a^x \\
2=a^1$$

No i teraz musimy sobie odpowiedzieć na pytanie - jaką liczbę trzeba podnieść do potęgi pierwszej aby otrzymać \(2\)? Oczywiście \(2\), tak więc prawidłową odpowiedzią będzie \(a=2\).

C

Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie równania \(3^x=6\).

Aby rozwiązać to równanie to najprościej będzie posłużyć się definicją logarytmu, którą znajdziemy chociażby w tablicach maturalnych.
$$\log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b$$

Porównując zapis \(a^c=b\) do zapisu \(3^x=6\) widzimy, że: \(a=3\), \(b=6\) oraz \(c=x\). Podstawiając teraz te symbole do definicji logarytmu otrzymamy, że \(x=\log_{3}6\).

B

Aby sprawdzić który z tych punktów należy do wykresu funkcji wystarczy podstawić współrzędne każdego punktu do wzoru funkcji i sprawdzić kiedy równanie będzie prawidłowe:
Odp. A.
\(A=(1;-2)\), więc \(x=1\) oraz \(y=-2\)
$$-2=-2^{1-2} \\
-2=-2^{-1} \\
-2=-\frac{1}{2} \\
L\neq P$$

Odp. B.
\(B=(2;-1)\), więc \(x=2\) oraz \(y=-1\)
$$-1=-2^{2-2} \\
-1=-2^0 \\
-1=-1 \\
L=P$$

Odp. C.
\(C=(1;\frac{1}{2})\), więc \(x=1\) oraz \(y=\frac{1}{2}\)
$$\frac{1}{2}=-2^{1-2} \\
\frac{1}{2}=-2^{-1} \\
\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \\
L\neq P$$

Odp. D.
\(D=(4;4)\), więc \(x=4\) oraz \(y=4\)
$$4=-2^{4-2} \\
4=-2^{2} \\
4=-4 \\
L\neq P$$

Prawidłowa jest więc odpowiedź \(B\).

C

Krok 1. Obliczenie wartości kilku argumentów obydwu funkcji.
Spróbujmy obliczyć wartości kilku charakterystycznych argumentów, tak aby móc za chwilę wykonać szkic rysunku obydwu funkcji:
$$f(0)=-5\cdot0+1=0+1=1 \\
f(1)=-5\cdot1+1=-5+1=-4 \\
f(-1)=-5\cdot(-1)+1=5+1=6 \\
\text{oraz} \\
g(0)=5^0=1 \\
g(1)=5^1=5 \\
g(-1)=5^{-1}=\frac{1}{5}$$

Krok 2. Sporządzenie szkicu wykresów obydwu funkcji.
Nanieśmy wyznaczone przed chwilą punkty i sprawdźmy ile punktów wspólnych będą mieć wykresy tych funkcji.



Widzimy wyraźnie, że te dwie funkcje mają jeden punkt wspólny i jest to punkt o współrzędnych \((0;1)\).

\(24\) dni

I sposób - krok po kroku:
Skoro co \(8\) dni mamy o połowę mniej tego pierwiastka, to:
\(1g\) - tyle jest na początku
\(0,5\cdot1g=0,5g\) - tyle jest po \(8\) dniach
\(0,5\cdot0,5g=0,25g\) - tyle jest po \(16\) dniach
\(0,5\cdot0,25g=0,125g\) - tyle jest po \(24\) dniach

To oznacza, że po 24 dniach tego pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\).

II sposób - za pomocą nierówności wykładniczej:
Przyjmijmy, że:
\(x\) - liczba okresów (każdy po \(8\) dni)
\(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) - tyle z pierwiastka zostanie po \(x\) okresach
Nas interesuje, kiedy z pierwiastka zostanie nie więcej niż \(0,125g\) (czyli \(\frac{1}{8}g\)), zatem musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:
$$\left(\frac{1}{2}\right)^x\le0,125 \\
\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\frac{1}{8} \\
\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\left(\frac{1}{2}\right)^3$$

Opuszczamy podstawę potęgi, ale przy okazji musimy zmienić jej znak (bo podstawa jest ułamkiem zwykłym). Otrzymamy zatem: \(x\ge3\).

Taki wynik oznacza, że potrzeba minimum trzech okresów, aby zostało nie więcej niż \(0,125g\) pierwiastka. Skoro każdy okres to \(8\) dni, to wyszło nam, że musi upłynąć przynajmniej \(3\cdot8=24\) dni.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę okresów \(n=3\), ale nie zapiszesz że będą to \(24\) dni.
ALBO
• Gdy zapiszesz nierówność (lub ewentualnie równanie) w postaci typu: \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\frac{1}{8}\) albo \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\le\left(\frac{1}{2}\right)^3\).
ALBO
• Gdy odczytasz odpowiedź z wykresu funkcji wykładniczej \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.