Wielomiany

Rozpoczynamy nowy dział, czyli wielomiany. W tym temacie powiemy sobie czym są te wielomiany, jak jest zapisujemy i co tak naprawdę musimy wiedzieć na ich temat.

Co to jest wielomian?
Zanim powiemy sobie czym jest wielomian, dobrze byłoby przypomnieć sobie czym jest jednomian. Jednomian jest wyrażeniem algebraicznym, które składa się z liczby oraz jakiejś litery, którą nazywamy zmienną (najczęściej jest to zmienna \(x\)). Jednomianami będą więc:
$$3x^2 \quad\quad 7y \quad\quad \frac{1}{2}a$$

Jednomianami będą też takie wyrażenia, które mają tych zmiennych nieco więcej, np.:
$$3x^2y^3 \quad\quad 7yz \quad\quad \frac{1}{2}ah$$

Nas na tej lekcji będą interesować jednomiany z tej pierwszej grupy (czyli z jedną zmienną), ponieważ to one będą budować wielomiany. Wielomian składa się (jak sama nazwa wskazuje) z wielu takich jednomianów, dając wyrażenie z maksymalnie jedną zmienną. Przykładowymi wielomianami będą więc:
$$3x^2-2x^2+x+5 \\
b^2-0,07b^2 \\
(x+2)^2$$

Zapisywanie wielomianów
Wielomiany oznaczamy najczęściej dużą literą wraz z występującą zmienną np. \(W(x)\) lub \(P(a)\). Stąd też będziemy spotykać się z zapisami typu:
$$W(x)=x^2+x+5 \\
P(a)=a^5-a^2-9 \\
K(p)=3p^4-2p$$

Przy zapisywaniu wielomianów, dobrą praktyką jest zwracanie uwagi na to, by wykładniki potęgi przy zmiennej były ułożone w porządku malejącym. Czyli przykładowo, mając wielomian \(A(x)=3x+2x^2-5\), dobrze byłoby zapisywać całość jako \(A(x)=2x^2+3x-5\).

Stopień wielomianu
W dziale wielomianów będziemy posługiwać się czasem pojęciem stopnia wielomianu. Będziemy wtedy mówić, że jakiś wielomian jest np. trzeciego stopnia albo piątego stopnia. Stopień wielomianu informuje nas, jaka jest najwyższa potęga znajdująca się w takim wielomianie. Jeśli więc mamy jednomian trzeciego stopnia, to w zapisie najwyższą liczbą w wykładniku potęgi będzie trójka. Spójrzmy na poniższe przykłady:
\(W(x)=2x^4-3x \quad\Rightarrow\quad\) jest to wielomian czwartego stopnia, bo przy zmiennej \(x\) największy wykładnik jest równy \(4\).
\(Z(x)=-3x^2+-100 \quad\Rightarrow\quad\) jest to wielomian drugiego stopnia, bo przy zmiennej \(x\) największy wykładnik jest równy \(2\).
\(P(x)=x^2+x^3 \quad\Rightarrow\quad\) jest to wielomian trzeciego stopnia, bo przy zmiennej \(x\) największy wykładnik jest równy \(3\).

W przypadku tego ostatniego wielomianu, trzeba było zachować ostrożność, ponieważ wielomian \(P(x)\) nie był uporządkowany (czyli nie był zapisany wraz z malejącym stopniem wykładnika potęgi). To pokazuje dlaczego tak ważne jest, by zapisując wielomiany, zachować zasady uporządkowania wielomianu.

Wyraz wolny
Jeżeli w wielomianie pojawia się liczba bez zmiennej, to mówimy, że jest ona wyrazem wolnym. Przykładowo:
\(8x^3+5x+4 \quad\Rightarrow\quad\) wyraz wolny jest równy \(4\)
\(x^2+5x-7 \quad\Rightarrow\quad\) wyraz wolny jest równy \(-7\)
\(x^2-x \quad\Rightarrow\quad\) tutaj nie ma wolnego wyrazu, ponieważ nie mamy „samotnej” liczby

Dwumian i trójmian
Dwumianem nazywamy taki wielomian, w którym pojawiają się dwa jednomiany różnych stopni. Analogicznie, trójmian będzie miał trzy takie jednomiany. Przykładowo:
\(x+9 \quad\Rightarrow\quad\) to jest dwumian
\(x^4-5x^2 \quad\Rightarrow\quad\) to też jest dwumian
\(x^4-5x^2+x \quad\Rightarrow\quad\) to jest trójmian
\(x^2+2x-1 \quad\Rightarrow\quad\) to też jest trójmian

W tym ostatnim przykładzie możemy nawet powiedzieć, że jest to tak zwany trójmian kwadratowy, ponieważ najwyższy wykładnik potęgi jest tutaj równy \(2\) (czyli jest to trójmian drugiego stopnia).

Wartość wielomianu
Jeżeli pod zmienną znajdującą się w wielomianie (np. zmienną \(x\)), podstawimy konkretną liczbę, to otrzymamy wartość liczbową wielomianu dla tej konkretnej zmiennej. Przykładowo:

Mając podstawową wiedzę o wielomianach, zachęcam Cię do zapoznania się z kolejnymi materiałami: