Dany jest kwadrat ABCD. Zbudowano trójkąty równoboczne ACE i BDF tak, że wierzchołek D kwadratu

Dany jest kwadrat \(ABCD\). Zbudowano trójkąty równoboczne \(ACE\) i \(BDF\) tak, że wierzchołek \(D\) kwadratu leży wewnątrz trójkąta \(ACE\), a wierzchołek \(C\) - wewnątrz trójkąta \(BDF\). Odcinki \(CE\) i \(DF\) przecinają się w punkcie \(G\) (jak na rysunku).

matura z matematyki



Wykaż, że \(|CG|=|CF|\).

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro trójkąty \(ACE\) i \(BDF\) są równoboczne (czyli mają wszystkie kąty o mierze \(60°\)), a przekątne kwadratu tworzą z bokami kąty \(45°\), to sytuacja z treści zadania wygląda następująco:
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie miar poszczególnych kątów.
Korzystając z rysunku możemy teraz obliczyć miarę np. kąta \(CDF\):
$$|\sphericalangle CDF|=60°-45°=15°$$

Można więc powiedzieć, że w takim razie w trójkącie równoramiennym \(CDG\) kąty przy podstawie mają \(15°\), zatem kąt \(CGD\) ma:
$$|\sphericalangle CGD|=180°-15°-15°=150°$$

Spójrzmy teraz na kąt CGF. Jest on kątem przystającym do kąta \(CGD\), zatem jego miara jest równa:
$$|\sphericalangle CGF|=180°-150°=30°$$

Bardzo podobnie możemy obliczyć miarę kąta \(FCG\).
$$|\sphericalangle FCG|=180°-45°-15°=120°$$

I teraz spoglądamy na trójkąt \(CGF\). Znamy już dwie miary kątów w tym trójkącie i są to kąty o mierze \(30°\) oraz \(120°\), zatem trzeci kąt ma miarę:
$$|\sphericalangle FCG|=180°-120°-30°=30°$$

To oznacza, że kąty przy boku \(FG\) mają jednakową miarę, czyli że trójkąt \(CGF\) jest równoramienny. Skoro tak, to faktycznie \(|CG|=|CF|\), co należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono, korzystając z własności kątów oraz trójkątów równoramiennych.

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments