Egzamin gimnazjalny – Matematyka – 2009

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz masę wszystkich składników (Krok 1.) oraz zapiszesz, np. w formie ułamka, że udział szynki wynosi \(\frac{40g}{320g}\) i źle zamienisz tę wartość na procenty.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie masy wszystkich składników.
Wszystkie składniki użyte do zrobienia śniadania Michała ważą:
$$200g+30g+50g+40g=320g$$

Krok 2. Obliczenie udziału masy szynki w śniadaniu.
Szynka stanowi \(40g\) z \(320g\) posiłku, zatem jej udział procentowy wynosi:
$$\frac{40g}{320g}=\frac{1}{8}=12,5\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz ilość białka w każdym z produktów (Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie ilości białka w każdym z produktów.
Tabela zawartości białka zawiera informację o tym ile jest białka w \(100g\) produktu. Musimy więc obliczyć ile gramów białka znajduje się w poszczególnych produktach, uwzględniając ich wagę. Najprościej będzie to zrobić za pomocą proporcji:
Bułka:
Skoro \(100g\) bułki to \(6,9g\) białka
Więc \(200g\) bułki to \(13,8g\) białka

Masło:
Skoro \(100g\) masła to \(0,6g\) białka
To \(10g\) masła to \(0,06g\) białka
Więc \(30g\) masła to \(0,18g\) białka

Ser:
Skoro \(100g\) sera to \(26,1g\) białka
To \(50g\) sera to \(13,05g\) białka

Szynka:
Skoro \(100g\) szynki to \(16,4g\) białka
To \(10g\) szynki to \(1,64g\) białka
Więc \(40g\) szynki to \(6,56g\) białka

Krok 2. Obliczenie łącznej zawartości białka.
Znając już zawartość białka w każdym z produktów możemy bez problemu dodać do siebie te wyniki i w ten sposób zakończyć całe zadanie:
$$13,8g+0,18g+13,05g+6,56g=33,59g$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz objętość walca (kosza) (Krok 1.), ale do obliczeń przyjmiesz średnicę \(28cm\) zamiast promień \(14 cm\).
2 pkt
• Gdy obliczysz objętość walca (kosza) (Krok 1.) i nie zamienisz poprawnie tej wartości na litry lub dokonasz błędnego zaokrąglenia.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie objętości walca.
Objętość walca obliczymy ze wzoru:
$$V=P_{p}\cdot H$$

Skoro w podstawie walca jest koło, to wzór na objętość możemy zapisać jako:
$$V=πr^2\cdot H$$

Do obliczenia objętości potrzebujemy więc wysokości \(H\) (ta jest akurat znana) oraz promienia podstawy. My promienia podstawy nie znamy, bo w treści zadania podana jest średnica dna. Z racji tego iż promień jest dwa razy krótszy od średnicy, to:
$$r=28cm:2=14cm$$

Teraz bez przeszkód możemy obliczyć pożądaną objętość:
$$V=π\cdot14^2\cdot40 \\
V=π\cdot196\cdot40 \\
V=7840π \\
V\approx7840\cdot3,14 \\
V=24617,6[cm^3]$$

Krok 2. Zamiana jednostek na litry.
To jeszcze nie jest koniec zadania, bo choć objętość mamy obliczoną poprawnie to musimy jeszcze zamienić jednostki na litry, bo takiego zaokrąglenia na koniec będziemy potrzebować.
\(1\) litr to \(1dm^3\)
\(1dm^3\) to \(1000cm^3\)

W związku z tym:
$$24617,6cm^3=24,6176dm^3=24,6176l$$

Krok 3. Zaokrąglenie wyniku do pełnych litrów.
Musimy jeszcze zaokrąglić wynik do pełnych litrów. Z racji tego iż pierwszą liczba po przecinku jest \(6\), to zaokrąglenie do pełnych jednostek będzie zaokrągleniem do góry.
$$24,6176l\approx25l$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta będącego częścią pierwszego dachu \(h=4\sqrt{3}\) (Krok 1. II sposób).
ALBO
• Gdy obliczysz długość krótszego boku prostokąta będącego częścią drugiego dachu \(x=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni pierwszego dachu (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole powierzchni drugiego dachu (Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni jednego z dwóch dachów oraz obliczysz kluczowy wymiar następnego dachu, czyli \(h=4\sqrt{3}\) dla pierwszego dachu lub \(x=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\) dla drugiego dachu (Krok 1. i 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni obydwu dachów (Krok 1. i 2.) i na tym zakończysz rozwiązywanie lub też źle określisz który dach ma większą powierzchnię.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pierwszego dachu.
Zacznijmy od obliczenia pola powierzchni pierwszego dachu. Dach składa się z czterech trójkątów równobocznych o boku długości \(8cm\). Musimy więc wyznaczyć pole każdego takiego trójkąta i pomnożyć to przez \(4\). Wyznaczyć pole tego trójkąta można tak naprawdę na dwa sposoby:

I sposób - korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.
Wzór na pole trójkąta równobocznego jest następujący:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{8^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{64\sqrt{3}}{4} \\
P=16\sqrt{3}$$

Skoro mamy cztery takie trójkąty, to pole powierzchni dachu będzie równe:
$$P_{1}=4\cdot16\sqrt{3}=64\sqrt{3}$$

II sposób - wyznaczając wysokość trójkąta równobocznego.
Tym razem możemy skorzystać ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
h=4\sqrt{3}$$

Jeśli tego wzoru nie pamiętamy, to ostatecznie możemy wyznaczyć wysokość z Twierdzenia Pitagorasa, wiedząc że wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na dwie równe części:


$$4^2+h^2=8^2 \\
16+h^2=64 \\
h^2=48 \\
h=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$$

Znając wysokość trójkąta równobocznego możemy obliczyć już bez przeszkód jego pole standardowym wzorem na pole trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
P=\frac{1}{2}\cdot8\cdot4\sqrt{3} \\
P=4\cdot4\sqrt{3} \\
P=16\sqrt{3}$$

Skoro mamy cztery takie trójkąty, to pole powierzchni dachu będzie równe:
$$P_{1}=4\cdot16\sqrt{3}=64\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni drugiego dachu.


Do obliczenia pola powierzchni drugiego dachu (składającego się z dwóch prostokątów) potrzebujemy znać długość krótszego boku prostokąta. Obliczymy go z Twierdzenia Pitagorasa i trójkąta zaznaczonego na powyższym rysunku:
$$4^2+4^2=x^2 \\
16+16=x^2 \\
x^2=32 \\
x=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$

W związku z tym pojedynczy kawałek dachu jest prostokątem o wymiarach \(8\times4\sqrt{2}\), zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P=8\cdot4\sqrt{2} \\
P=32\sqrt{2}$$

Nasz drugi dach składa się z dwóch takich prostokątów, zatem jego pole powierzchni będzie równe:
$$P_{2}=2\cdot32\sqrt{2} \\
P_{2}=64\sqrt{2}$$

Krok 3. Określenie który dach ma większą powierzchnię.
Pierwszy dach ma powierzchnię \(64\sqrt{3}\), drugi dach ma powierzchnię \(64\sqrt{2}\), zatem to pierwszy dach ma tę powierzchnię większą:
$$64\sqrt{3}\gt64\sqrt{2} \\
P_{1}\gt P_{2}$$