Ciąg geometryczny (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest rosnący

Ciąg geometryczny $(a_{n})$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek $a_{3}=a_{1}\cdot a_{2}$. Niech $q$ oznacza iloraz ciągu $(a_{n})$. Wtedy:

A. $a_{1}=\frac{1}{q}$

B. $a_{1}=q$

C. $a_{1}=q^2$

D. $a_{1}=q^3$

Rozwiązanie

Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q \\
a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$

Podstawiając te dane do równania z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}\cdot a_{2} \\
a_{1}\cdot q^2=a_{1}\cdot a_{1}\cdot q \\
q^2=a_{1}\cdot q \\
a_{1}=q$$

Odpowiedź

Zadania

Ciąg geometryczny (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest rosnący

Ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek \(a_{3}=a_{1}\cdot a_{2}\). Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu \((a_{n})\). Wtedy: