Dzielenie wielomianów (zwłaszcza na poziomie podstawowymi) sprowadza się w zasadzie do dzielenia wielomianu przez dwumian typu \((x-a)\), gdzie \(a\) jest liczbą całkowitą. Będziemy więc mierzyć się z działaniami typu \((x^3-2x^2-29x+30):(x-6)\) i to właśnie na tym przykładzie omówimy sobie dwa główne sposoby na dzielenie wielomianów – metodę pisemną oraz schemat Hornera.
Dzielenie pisemne wielomianów
Przeanalizujmy sposób wykonania tego działania krok po kroku.
1. Aby móc wykonać dzielenie wielomianu sposobem pisemnym, musimy zacząć od następującego zapisu, który przypomina dzielenie pisemne liczb:
$$\quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)}$$
2. Teraz sposób działania jest następujący – pierwszy wyraz naszego wielomianu \(x^3-2x^2-29x+30\) dzielimy przez pierwszy wyraz wielomianu \(x-6\). Czyli w naszym przypadku musimy obliczyć ile to jest \(x^3\) przez \(x\) i ten wynik zapisujemy nad kreską dzielenia. Skoro \(x^3:x=x^2\), to otrzymamy taką sytuację:
$$\quad \; x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} $$
3. Otrzymany wynik musimy teraz pomnożyć przez nasz dwumian. Czyli w naszym przypadku musimy pomnożyć \(x^2\) przez \((x-6)\), co dałoby \(x^2\cdot(x-6)=x^3-6x^2\). Otrzymany wynik odejmujemy od zapisanego dzielenia, co wyglądałoby w ten sposób:
$$\quad \;\; x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; }$$
4. Przepisujemy resztę pierwszego wielomianu, czyli dopisujemy na dole \(-29x+30\).
$$\quad \;\; x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad }$$
5. I zachowujemy się teraz tak jak na samym początku, czyli pierwszy wyraz wielomianu \(4x^2-29x+30\) dzielimy przez \(x\), a wynik zapisujemy nad kreską, zatem skoro \(4x^2:x=4x\), to mamy taką oto sytuację:
$$\quad \; x^2+4x \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad }$$
6. Ponownie otrzymany wynik \(4x\) mnożymy przez dwumian \((x-6)\), czyli w naszym przypadku \(4x\cdot(x-6)=4x^2-24x\) i tę wartość odejmujemy od dolnego wielomianu:
$$\quad \; x^2+4x \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad } \\
\quad \quad \; -\quad (4x^2-24x) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \; \\
\overline {\quad \quad -5x \quad \quad \; }$$
7. Przepisujemy \(+30\) z góry i mamy teraz taką sytuację:
$$\quad \; x^2+4x \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad } \\
\quad \quad \; -\quad (4x^2-24x) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \; \\
\overline {\; \quad \quad -5x+30 \; }$$
8. I znowu, dzielimy pierwszy wyraz nowego wielomianu \(-5x+30\) przez pierwszy wyraz dwumianu, czyli przez \(x\), a wynik zapisujemy nad kreską. Skoro \(-5x:x=-5\), to otrzymamy:
$$\quad \; x^2\;+4x\;\;-5 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad } \\
\quad \quad \; -\quad (4x^2-24x) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \; \\
\overline {\; \quad \quad -5x+30 \; }$$
9. Otrzymane \(-5\) mnożymy przez cały dwumian, czyli \(-5\cdot(x-6)=-5x+30\) i odejmujemy to od dolnego wielomianu.
$$\quad \; x^2\;+4x\;\;-5 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad } \\
\quad \quad \; -\quad (4x^2-24x) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \; \\
\overline {\; \quad \quad -5x+30 \quad } \\
\quad \quad \quad \quad \; -\quad (-5x+30) \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \quad }$$
W ten oto sposób zakończyliśmy dzielenie wielomianu przez dwumian. Wynikiem tego dzielenia jest to, co znalazło się nad kreską, czyli \(x^2+4x-5\). Liczba \(0\) otrzymana na samym końcu oznacza, że dzielenie było bez reszty, czyli moglibyśmy zapisać, że \((x^3-2x^2-29x+30):(x-6)=x^2+4x-5\).
Schemat Hornera
Jak widzimy na powyższym przykładzie, dzielenie pisemne jest dość czasochłonne, zabiera też sporo miejsca, no i nie ma co ukrywać – dość łatwo tutaj popełnić błąd rachunkowy. Z tego też względu, dużo praktyczniejsza okazuje się druga metoda, tzw. schemat Hornera. Obliczenia według tej metody zamykają się w małej tabelce i pozwalają nam na szybkie wykonanie takiego dzielenia. Sprawdźmy jak wygląda ta metoda na konkretnym przykładzie.
Aby skorzystać ze schematu Hornera, musimy postępować według następujących kroków:
1. Rysujemy tabelkę, składającą się z dwóch wierszy, która wygląda mniej więcej w ten oto sposób:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$
2. W górnym wierszu pierwsze pole zostawiamy puste, a w dalszych komórkach wypisujemy współczynniki liczbowe naszego wielomianu.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -2 & -29 & 30 \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$
3. W drugim wierszu w pierwszej komórce wpisujemy liczbę \(a\), która jest w dwumianie \(x-a\) przez który dzielimy wielomian, natomiast w drugiej kratce przepisujemy współczynnik liczbowy znajdujący się w górnym wierszu.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -2 & -29 & 30 \\
\hline
6 & 1 & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$
4. Teraz musimy uzupełnić dolny wiersz tabeli. Pierwszą liczbę z dolnego wiersza mnożymy przez drugą, a następnie dodajemy do tego iloczynu liczbę, która znajduje się nad pierwszą pustą kratką. W naszym przypadku wyglądałoby to tak:
\(6\cdot1+(-2)=6-2=4 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-2\) wpisujemy \(4\)
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -2 & -29 & 30 \\
\hline
6 & 1 & 4 & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$
Teraz pierwszą liczbę z dolnego wiersza wymnażamy przez trzecią liczbę (czyli tą, którą przed chwilą wpisaliśmy) i dodajemy do tego liczbę, która znajduje się nad pierwszą pustą kratką. Czyli:
\(6\cdot4+(-29)=24-29=-5 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-29\) wpisujemy \(-5\)
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -2 & -29 & 30 \\
\hline
6 & 1 & 4 & -5 & \quad \\
\hline
\end{array}$$
I na koniec pierwszą liczbę z dolnego wiersza wymnażamy przez czwartą liczbę (tą wpisaną przed chwilą) i dodajemy do tego liczbę, która znajduje się nad pierwszą pustą kratką. Czyli:
\(6\cdot(-5)+30=-30+30=0 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(30\) wpisujemy \(0\)
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -2 & -29 & 30 \\
\hline
6 & 1 & 4 & -5 & 0 \\
\hline
\end{array}$$
5. Odczytanie rozwiązania.
Zerkamy teraz na drugi wiersz. Pierwsza cyfra to nasze \(a\) z dwumianu \(x-a\), więc ta liczba nas nie interesuje. Ostatnia cyfra to tak zwana reszta z dzielenia – u nas jest równa \(0\). Nas interesują liczby znajdujące się w środkowych komórkach, ponieważ to tam zaszyta jest informacja na temat wyniku dzielenia. Te środkowe liczby \(1\), \(4\) oraz \(-5\) to tak zwane współczynniki liczbowe wielomianu, który jest rozwiązaniem tego dzielenia. Otrzymany w ten sposób wielomian zawsze jest o \(1\) stopień niższy niż wielomian początkowy, stąd też byłby to wielomian \(1x^2+4x-5\), czyli po prostu \(x^2+4x-5\).
Można więc powiedzieć, że \((x^3-2x^2-29x+30):(x-6)=x^2+4x-5\)
Najczęściej popełnianym błędem przy schemacie Hornera jest błędne zapisanie liczby \(a\), czyli tej, która znajduje się w lewym dolnym rogu tabelki. Wielomiany dzielimy przez dwumian typu \((x-a)\), więc jak mamy dzielenie przez \((x-6)\), to \(a=6\). Analogicznie gdybyśmy mieli dzielenie przez np. \((x+5)\), to \(a=-5\), bo \((x+5)=(x-(-5))\). Zróbmy więc jeszcze jedno treningowe zadanie z wykorzystaniem schematu Hornera.
Rysujemy tabelkę i wypisujemy na górze współczynniki wielomianu \(2x^4+11x^3+15x^2-7x-21\), zatem:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 2 & 11 & 15 & -7 & -21 \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$
Skoro dzielimy przez \((x+3)\), to w lewym dolnym rogu wpisujemy \(-3\), przepisujemy też stojącą w pierwszym wierszu dwójkę i mamy taką oto sytuację:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 2 & 11 & 15 & -7 & -21 \\
\hline
-3 & 2 & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$
Przystępujemy zatem do liczenia:
\((-3)\cdot2+11=-6+11=5 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(11\) wpisujemy \(5\)
\((-3)\cdot5+15=-15+15=0 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(15\) wpisujemy \(0\)
\((-3)\cdot0+(-7)=0-7=-7 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-7\) wpisujemy \(-7\)
\((-3)\cdot(-7)+(-21)=21-21=0 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-21\) wpisujemy \(0\)
Tabelka będzie więc wyglądać następująco:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 2 & 11 & 15 & -7 & -21 \\
\hline
-3 & 2 & 5 & 0 & -7 & 0 \\
\hline
\end{array}$$
Na koniec odczytujemy rozwiązanie. Interesują nas środkowe liczby z drugiego wiersza, bo to one będą współczynnikami naszego wielomianu. W wyniku dzielenia powstaje nam wielomian, którego stopień jest o \(1\) mniejszy od początkowego, więc wyszło nam, że wynikiem tego dzielenia jest \(2x^3+5x^2+0x-7\), czyli po prostu \(2x^3+5x^2-7\).
Reszta z dzielenia
Do tej pory wszystkie podane przykłady były działaniami bez reszty. Może się jednak zdarzyć, że wielomian nie dzieli się idealnie przez wskazany dwumian i że zostaje nam reszta z takiego dzielenia. Jest to sytuacja podobna do tej, którą znamy z działań na liczbach. Przykładowo \(25:7=3\;r.4\). Sprawdźmy zatem, jak to będzie wyglądać w przypadku wielomianów na konkretnym przykładzie.
Rozwiążemy sobie ten przykład na dwa sposoby, tak aby pokazać gdzie odnajdziemy tę resztę.
I metoda – dzielenie pisemne
Dzieląc pisemnie, otrzymalibyśmy następującą sytuację:
$$\quad \; x^3\;-7x^2\;\;+16x-12 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; \; (x^4-11x^3+44x^2-76x+50) : (x-4)} \\
\; -\quad (x^4-4x^3) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad -7x^3+44x^2-76x+50 \quad \quad \quad } \\
\quad \; \; -\quad (-7x^3+28x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad \quad \quad 16x^2-76x+50 \quad } \\
\quad \quad \; \; -\quad (-16x^2-64x) \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\; \; \quad \quad \quad \quad \quad \quad -12x+50 \quad } \\
\; \quad \quad \quad \quad \quad -\quad (-12x+48) \quad \quad \\
\overline {\; \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2 \quad }$$
Liczba \(2\) otrzymana na samym dole to właśnie reszta z dzielenia. Wyszło nam więc, że wynikiem dzielenia jest \(x^3-7x^2+16x-12\) i do tego reszta równa \(2\).
II metoda – schemat Hornera
Rysujemy tabelkę i wypisujemy na górze współczynniki wielomianu \(x^4-11x^3+44x^2-76x+50\), zatem:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -11 & 44 & -76 & 50 \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$
Skoro dzielimy przez \((x-4)\), to w lewym dolnym rogu wpisujemy \(4\), przepisujemy też stojącą w pierwszym wierszu jedynkę i mamy taką oto sytuację:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -11 & 44 & -76 & 50 \\
\hline
4 & 1 & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$
Przystępujemy zatem do liczenia:
\(4\cdot1+(-11)=4-11=-7 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-11\) wpisujemy \(-7\)
\(4\cdot(-7)+44=-28+44=16 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(44\) wpisujemy \(16\)
\(4\cdot16+(-76)=64-76=-12 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-76\) wpisujemy \(-12\)
\(4\cdot(-12)+50=-48+50=2 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(50\) wpisujemy \(2\)
Tabelka będzie więc wyglądać następująco:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -11 & 44 & -76 & 50 \\
\hline
4 & 1 & -7 & 16 & -12 & 2 \\
\hline
\end{array}$$
Na koniec odczytujemy rozwiązanie. Patrzymy na drugi wiersz – pierwsza liczba nas nie interesuje, ostatnia liczba równa \(2\) to właśnie reszta z dzielenia. Środkowe liczby to współczynniki naszego wielomianu – przypomnę, że stopień tego wielomianu będzie o \(1\) mniejszy niż tego początkowego, więc wyszło nam, że wynikiem dzielenia jest \(x^3-7x^2+16x-12\) i mamy dodatkowo resztę równą \(2\).
x^4-11x^3+44x^2-76x+50=(x^3-7x^2+16x-12)\cdot(x-4)+2$$
Więcej informacji na temat wielomianów znajdziesz tutaj: