Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów (zwłaszcza na poziomie podstawowymi) sprowadza się w zasadzie do dzielenia wielomianu przez dwumian typu \((x-a)\), gdzie \(a\) jest liczbą całkowitą. Będziemy więc mierzyć się z działaniami typu \((x^3-2x^2-29x+30):(x-6)\) i to właśnie na tym przykładzie omówimy sobie dwa główne sposoby na dzielenie wielomianów – metodę pisemną oraz schemat Hornera.

Dzielenie pisemne wielomianów

Przykład 1. Wykonaj dzielenie \((x^3-2x^2-29x+30):(x-6)\) sposobem pisemnym.

Przeanalizujmy sposób wykonania tego działania krok po kroku.

1. Aby móc wykonać dzielenie wielomianu sposobem pisemnym, musimy zacząć od następującego zapisu, który przypomina dzielenie pisemne liczb:
$$\quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)}$$

2. Teraz sposób działania jest następujący – pierwszy wyraz naszego wielomianu \(x^3-2x^2-29x+30\) dzielimy przez pierwszy wyraz wielomianu \(x-6\). Czyli w naszym przypadku musimy obliczyć ile to jest \(x^3\) przez \(x\) i ten wynik zapisujemy nad kreską dzielenia. Skoro \(x^3:x=x^2\), to otrzymamy taką sytuację:

$$\quad \; x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} $$

3. Otrzymany wynik musimy teraz pomnożyć przez nasz dwumian. Czyli w naszym przypadku musimy pomnożyć \(x^2\) przez \((x-6)\), co dałoby \(x^2\cdot(x-6)=x^3-6x^2\). Otrzymany wynik odejmujemy od zapisanego dzielenia, co wyglądałoby w ten sposób:
$$\quad \;\; x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; }$$

4. Przepisujemy resztę pierwszego wielomianu, czyli dopisujemy na dole \(-29x+30\).
$$\quad \;\; x^2 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad }$$

5. I zachowujemy się teraz tak jak na samym początku, czyli pierwszy wyraz wielomianu \(4x^2-29x+30\) dzielimy przez \(x\), a wynik zapisujemy nad kreską, zatem skoro \(4x^2:x=4x\), to mamy taką oto sytuację:
$$\quad \; x^2+4x \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad }$$

6. Ponownie otrzymany wynik \(4x\) mnożymy przez dwumian \((x-6)\), czyli w naszym przypadku \(4x\cdot(x-6)=4x^2-24x\) i tę wartość odejmujemy od dolnego wielomianu:
$$\quad \; x^2+4x \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad } \\
\quad \quad \; -\quad (4x^2-24x) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \; \\
\overline {\quad \quad -5x \quad \quad \; }$$

7. Przepisujemy \(+30\) z góry i mamy teraz taką sytuację:
$$\quad \; x^2+4x \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad } \\
\quad \quad \; -\quad (4x^2-24x) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \; \\
\overline {\; \quad \quad -5x+30 \; }$$

8. I znowu, dzielimy pierwszy wyraz nowego wielomianu \(-5x+30\) przez pierwszy wyraz dwumianu, czyli przez \(x\), a wynik zapisujemy nad kreską. Skoro \(-5x:x=-5\), to otrzymamy:
$$\quad \; x^2\;+4x\;\;-5 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad } \\
\quad \quad \; -\quad (4x^2-24x) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \; \\
\overline {\; \quad \quad -5x+30 \; }$$

9. Otrzymane \(-5\) mnożymy przez cały dwumian, czyli \(-5\cdot(x-6)=-5x+30\) i odejmujemy to od dolnego wielomianu.
$$\quad \; x^2\;+4x\;\;-5 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; (x^3-2x^2-29x+30) : (x-6)} \\
\; -\quad (x^3-6x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad 4x^2-29x+30 \quad \quad \quad } \\
\quad \quad \; -\quad (4x^2-24x) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \; \; \\
\overline {\; \quad \quad -5x+30 \quad } \\
\quad \quad \quad \quad \; -\quad (-5x+30) \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \quad }$$

W ten oto sposób zakończyliśmy dzielenie wielomianu przez dwumian. Wynikiem tego dzielenia jest to, co znalazło się nad kreską, czyli \(x^2+4x-5\). Liczba \(0\) otrzymana na samym końcu oznacza, że dzielenie było bez reszty, czyli moglibyśmy zapisać, że \((x^3-2x^2-29x+30):(x-6)=x^2+4x-5\).

Schemat Hornera
Jak widzimy na powyższym przykładzie, dzielenie pisemne jest dość czasochłonne, zabiera też sporo miejsca, no i nie ma co ukrywać – dość łatwo tutaj popełnić błąd rachunkowy. Z tego też względu, dużo praktyczniejsza okazuje się druga metoda, tzw. schemat Hornera. Obliczenia według tej metody zamykają się w małej tabelce i pozwalają nam na szybkie wykonanie takiego dzielenia. Sprawdźmy jak wygląda ta metoda na konkretnym przykładzie.

Przykład 2. Wykonaj dzielenie \((x^3-2x^2-29x+30):(x-6)\) wykorzystując schemat Hornera.

Aby skorzystać ze schematu Hornera, musimy postępować według następujących kroków:
1. Rysujemy tabelkę, składającą się z dwóch wierszy, która wygląda mniej więcej w ten oto sposób:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$

2. W górnym wierszu pierwsze pole zostawiamy puste, a w dalszych komórkach wypisujemy współczynniki liczbowe naszego wielomianu.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -2 & -29 & 30 \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$

3. W drugim wierszu w pierwszej komórce wpisujemy liczbę \(a\), która jest w dwumianie \(x-a\) przez który dzielimy wielomian, natomiast w drugiej kratce przepisujemy współczynnik liczbowy znajdujący się w górnym wierszu.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -2 & -29 & 30 \\
\hline
6 & 1 & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$

4. Teraz musimy uzupełnić dolny wiersz tabeli. Pierwszą liczbę z dolnego wiersza mnożymy przez drugą, a następnie dodajemy do tego iloczynu liczbę, która znajduje się nad pierwszą pustą kratką. W naszym przypadku wyglądałoby to tak:
\(6\cdot1+(-2)=6-2=4 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-2\) wpisujemy \(4\)

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -2 & -29 & 30 \\
\hline
6 & 1 & 4 & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$

Teraz pierwszą liczbę z dolnego wiersza wymnażamy przez trzecią liczbę (czyli tą, którą przed chwilą wpisaliśmy) i dodajemy do tego liczbę, która znajduje się nad pierwszą pustą kratką. Czyli:
\(6\cdot4+(-29)=24-29=-5 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-29\) wpisujemy \(-5\)
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -2 & -29 & 30 \\
\hline
6 & 1 & 4 & -5 & \quad \\
\hline
\end{array}$$

I na koniec pierwszą liczbę z dolnego wiersza wymnażamy przez czwartą liczbę (tą wpisaną przed chwilą) i dodajemy do tego liczbę, która znajduje się nad pierwszą pustą kratką. Czyli:
\(6\cdot(-5)+30=-30+30=0 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(30\) wpisujemy \(0\)
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -2 & -29 & 30 \\
\hline
6 & 1 & 4 & -5 & 0 \\
\hline
\end{array}$$

5. Odczytanie rozwiązania.
Zerkamy teraz na drugi wiersz. Pierwsza cyfra to nasze \(a\) z dwumianu \(x-a\), więc ta liczba nas nie interesuje. Ostatnia cyfra to tak zwana reszta z dzielenia – u nas jest równa \(0\). Nas interesują liczby znajdujące się w środkowych komórkach, ponieważ to tam zaszyta jest informacja na temat wyniku dzielenia. Te środkowe liczby \(1\), \(4\) oraz \(-5\) to tak zwane współczynniki liczbowe wielomianu, który jest rozwiązaniem tego dzielenia. Otrzymany w ten sposób wielomian zawsze jest o \(1\) stopień niższy niż wielomian początkowy, stąd też byłby to wielomian \(1x^2+4x-5\), czyli po prostu \(x^2+4x-5\).

Można więc powiedzieć, że \((x^3-2x^2-29x+30):(x-6)=x^2+4x-5\)

Reszta z dzielenia
Do tej pory wszystkie podane przykłady były działaniami bez reszty. Może się jednak zdarzyć, że wielomian nie dzieli się idealnie przez wskazany dwumian i że zostaje nam reszta z takiego dzielenia. Jest to sytuacja podobna do tej, którą znamy z działań na liczbach. Przykładowo \(25:7=3\;r.4\). Sprawdźmy zatem, jak to będzie wyglądać w przypadku wielomianów na konkretnym przykładzie.

Przykład 3. Wykonaj dzielenie \((x^4-11x^3+44x^2-76x+50):(x-4)\)

Rozwiążemy sobie ten przykład na dwa sposoby, tak aby pokazać gdzie odnajdziemy tę resztę.

I metoda – dzielenie pisemne
Dzieląc pisemnie, otrzymalibyśmy następującą sytuację:
$$\quad \; x^3\;-7x^2\;\;+16x-12 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \; \; (x^4-11x^3+44x^2-76x+50) : (x-4)} \\
\; -\quad (x^4-4x^3) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad -7x^3+44x^2-76x+50 \quad \quad \quad } \\
\quad \; \; -\quad (-7x^3+28x^2) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\quad \quad \quad \quad 16x^2-76x+50 \quad } \\
\quad \quad \; \; -\quad (-16x^2-64x) \quad \quad \quad \quad \quad \\
\overline {\; \; \quad \quad \quad \quad \quad \quad -12x+50 \quad } \\
\; \quad \quad \quad \quad \quad -\quad (-12x+48) \quad \quad \\
\overline {\; \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2 \quad }$$

Liczba \(2\) otrzymana na samym dole to właśnie reszta z dzielenia. Wyszło nam więc, że wynikiem dzielenia jest \(x^3-7x^2+16x-12\) i do tego reszta równa \(2\).

II metoda – schemat Hornera
Rysujemy tabelkę i wypisujemy na górze współczynniki wielomianu \(x^4-11x^3+44x^2-76x+50\), zatem:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -11 & 44 & -76 & 50 \\
\hline
\quad & \quad & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$

Skoro dzielimy przez \((x-4)\), to w lewym dolnym rogu wpisujemy \(4\), przepisujemy też stojącą w pierwszym wierszu jedynkę i mamy taką oto sytuację:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -11 & 44 & -76 & 50 \\
\hline
4 & 1 & \quad & \quad & \quad & \quad \\
\hline
\end{array}$$

Przystępujemy zatem do liczenia:
\(4\cdot1+(-11)=4-11=-7 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-11\) wpisujemy \(-7\)
\(4\cdot(-7)+44=-28+44=16 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(44\) wpisujemy \(16\)
\(4\cdot16+(-76)=64-76=-12 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(-76\) wpisujemy \(-12\)
\(4\cdot(-12)+50=-48+50=2 \quad\Rightarrow\quad\) Pod liczbą \(50\) wpisujemy \(2\)

Tabelka będzie więc wyglądać następująco:
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\quad & 1 & -11 & 44 & -76 & 50 \\
\hline
4 & 1 & -7 & 16 & -12 & 2 \\
\hline
\end{array}$$

Na koniec odczytujemy rozwiązanie. Patrzymy na drugi wiersz – pierwsza liczba nas nie interesuje, ostatnia liczba równa \(2\) to właśnie reszta z dzielenia. Środkowe liczby to współczynniki naszego wielomianu – przypomnę, że stopień tego wielomianu będzie o \(1\) mniejszy niż tego początkowego, więc wyszło nam, że wynikiem dzielenia jest \(x^3-7x^2+16x-12\) i mamy dodatkowo resztę równą \(2\).

Na koniec bardzo ważna uwaga. Nie możemy „dodawać” sobie reszty do otrzymanego wyniku. Spoglądając na nasz ostatni przykład – jeżeli wynikiem dzielenia jest \(x^3-7x^2+16x-12\) i mamy dodatkowo resztę równą \(2\), to nie możemy na koniec dodać tej reszty do wyniku i zapisać, że to będzie \(x^3-7x^2+16x-10\). To bardzo duży błąd. Wynik takiego dzielenia jest po prostu \(x^3-7x^2+16x-12\) i reszta równa \(2\). Dla lepszego zobrazowania, moglibyśmy nawet zapisać, że z tego przykładu wynika następujące równanie: $$
x^4-11x^3+44x^2-76x+50=(x^3-7x^2+16x-12)\cdot(x-4)+2$$

Więcej informacji na temat wielomianów znajdziesz tutaj:

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments