Bok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC

Bok \(AB\) jest średnicą, a punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\). Punkt \(D\) leży na tym okręgu, a odcinek \(SD\) zawarty jest w symetralnej boku \(BC\) trójkąta (zobacz rysunek).

matura z matematyki



Wykaż, że odcinek \(AD\) jest zawarty w dwusiecznej kąta \(CAB\).

Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie kluczowych własności trójkątów \(ABC\) oraz \(ASD\).
Aby poradzić sobie z tym zadaniem, musimy dostrzec kilka ważnych informacji, które wynikają z własności trójkątów i okręgów. Pierwszą ważną obserwacją jest to, iż trójkąt \(ABC\) jest na pewno trójkątem prostokątnym (wynika to wprost z własności okręgów opartych na trójkącie, gdyż przeciwprostokątna \(AB\) jest jednocześnie średnicą okręgu). Drugą obserwacją jest to, iż trójkąt \(ASD\) jest równoramienny, gdyż odcinki \(AS\) oraz \(SD\) są jednakowej długości, która jest równa promieniu okręgu.

Jakby tego było mało, to powinniśmy dostrzec, że trójkąt \(ABC\) jest trójkątem podobnym do trójkąta prostokątnego, który ma podstawę opisaną jako \(SB\). Skąd wiemy, że te trójkąty są podobne? Mają one jednakowy kąt przy wierzchołku \(B\), a także obydwa mają kąt o mierze \(90°\), stąd też na pewno będą to trójkąty podobne.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek pomocniczy uzyskane przed chwilą informacje, otrzymamy taką sytuację:
matura z matematyki

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ASD\).
Kąty \(ASD\) oraz \(DSB\) to kąty przyległe, zatem suma ich miar będzie równa \(180°\). Skoro tak, to miara kąta \(ASD\) będzie równa:
$$|\sphericalangle ASD|=180°-(90°-\alpha)=180°-90°+\alpha=90°+\alpha$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(DAS\).
Trójkąt \(ASD\) jest równoramienny, a obliczony przed chwilą kąt \(ASD=90°+\alpha\) jest kątem między ramionami. Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro tak, to kąt \(DAS\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle ASD|=\frac{180°-(90°+\alpha)}{2}=\frac{180°-90°-\alpha}{2}=\frac{90°-\alpha}{2}$$

Miara kąta \(DAS\) jest równa połowie miary kąta \(CAB\), a to oznacza, że faktycznie odcinek \(AD\) jest symetralną kąta, co należało udowodnić.

Odpowiedź

Udowodniono, wykorzystując własności trójkątów i kątów.

0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments