Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n^2+2n\) dla \(n\ge1\). Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Rozwiązanie:
Krok 1. Zapisanie sumy dwóch kolejnych wyrazów ciągu.
Sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu zapiszemy jako:
$$S=a_{1}+a_{2} \\
S=2n^2+2n+2(n+1)^2+2(n+1) \\
S=2n^2+2n+2(n^2+2n+1)+2n+2 \\
S=2n^2+2n+2n^2+4n+2+2n+2 \\
S=4n^2+8n+4$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Aby móc udowodnić tezę zawartą w zadaniu musimy przedstawić ten wynik w formie jakiejś potęgi. Z pomocą przychodzą nam wzory skróconego mnożenia, a konkretnie na potęgę sumy: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Zgodnie z tym wzorem:
$$S=4n^2+8n+4=(2n+2)^2$$
\(2n+2\) jest zawsze liczbą naturalną, bo z definicji ciągów wiemy, że \(n\in N\), a liczba naturalna pomnożona przez \(2\) i powiększona o \(2\) dalej jest liczbą naturalną. To oznacza, że dowód został zakończony.
Odpowiedź:
Udowodniono wykorzystując wzory skróconego mnożenia.
Info z klucza: „Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych wartości n, to otrzymuje 0 punktów” powinno być na n i n+1 …
Ale ja nie sprawdzam tej tezy dla konkretnych wartości n ;) Ta uwaga dotyczy sytuacji, kiedy ktoś podstawi sobie do wzoru ciągu np. n=2 oraz n=5 i sprawdzi jakie liczby wychodzą ;)
Dziękuję
Czy jeżeli obliczę a1 i a2 i je dodam do siebie a wynik przedstawię w postaci x do kwadratu to będzie dobrze?
To jest zadanie dowodowe, więc nie można tego zrobić w ten sposób ;) Musisz udowodnić, że ta własność zajdzie dla każdej sumy dwóch kolejnych wyrazów, a nie tylko wyrazu pierwszego i drugiego.