Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Operon 2019 – Odpowiedzi

D

Aby odpowiedzieć sobie na to pytanie, musimy dowiedzieć się ile to jest \(\frac{5}{3,5}\). Zazwyczaj w podobnych zadaniach przeliczamy ten ułamek na procenty, ale tutaj wszystkie odpowiedzi mamy zapisane w postaci ułamków zwykłych, więc do nich musimy się teraz dostosować. W tym celu musimy wykonać operację rozszerzania ułamka i zapisać, że:
$$\frac{5}{3,5}=\frac{10}{7}$$

A

Wymnażając przez siebie dwa nawiasy i korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) możemy zapisać, że:
$$(2x-3)(x+3)-(x-1)^2 \\
2x^2+6x-3x-9-(x^2-2x+1) \\
2x^2+3x-9-(x^2-2x+1) \\
2x^2+3x-9-x^2+2x-1 \\
x^2+5x-10$$

A

Rozwiązywanie tego równania najprościej będzie zacząć od pozbycia się ułamków. W tym celu musimy pomnożyć obydwie strony równania przez \(6\) (mnożymy przez \(6\), bo jest to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb \(2\) oraz \(3\), czyli liczb które znalazły się w mianownikach ułamków).

Podczas wymnażania musimy pamiętać o tym, że skoro po prawej stronie mamy dodawanie, to jedynkę także trzeba będzie pomnożyć przez \(6\). W związku z tym całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{x}{2}+1=\frac{x}{3} \quad\bigg/\cdot6 \\
\frac{6x}{2}+6=\frac{6x}{3} \\
3x+6=2x \\
x+6=0 \\
x=-6$$

Tak C,

Do zadania można podejść na kilka sposobów.

I sposób - korzystając z cech podzielności liczb.
Powinniśmy zauważyć, że obydwie liczby są podzielne przez \(9\) (bo suma ich cyfr jest równa \(9\)). Dostrzegając to, moglibyśmy zobaczyć jaki jest wynik tego dzielenia przez \(9\), a będzie to:
$$216:9=24 \\
621:9=69$$

Widzimy, że powstałe liczby są jeszcze podzielne przez \(3\) (bo suma ich cyfr jest podzielna przez \(3\)). Te dwa spostrzeżenia powinny nas doprowadzić do tego, że zarówno \(216\) jak i \(621\) będą w takim razie podzielna przez \(9\cdot3=27\). To oznacza, że faktycznie te dwie liczby są wielokrotnościami nieparzystej liczby dwucyfrowej (czyli wielokrotnościami liczby \(27\)), którą można zapisać jako \(3^3\).

II sposób - rozkładając liczby na czynniki pierwsze.
Równie dobrze do rozwiązania tego zadania moglibyśmy dojść wykonując rozkład liczb na czynniki pierwsze:
$$
\begin{array}{c|c}
216 & 3 \\
72 & 3 \\
24 & 3 \\
8 & 2 \\
4 & 2 \\
2 & 2 \\
1 & \;
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{c|c}
621 & 3 \\
207 & 3 \\
69 & 3 \\
23 & 23 \\
1 & \;
\end{array}
$$

Patrząc się na trzy pierwsze czynniki każdej z liczb możemy stwierdzić, że jedna i druga liczba jest podzielna przez \(3\cdot3\cdot3=3^3\).

C

Sprawdźmy wartości każdego z podanych wyrażeń:
$$(-4)^3+(-10)^2=-64+100=36 \\
(-54):9+7\cdot(-6)=-6+(-42)=-48 \\
(-4)\cdot((-2)^3)^2=-4\cdot(-2)^6=-4\cdot64=-256$$

To oznacza, że II i III wyrażenie jest ujemne.

B, C

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Skoro co szósty uczeń chce iść do technikum i takich osób jest łącznie \(21\), to uczniów w tej szkole jest:
$$6\cdot21=126$$

Ewentualnie moglibyśmy to zapisać w postaci równania, gdzie niewiadomą \(x\) jest liczba uczniów szkoły:
$$\frac{1}{6}x=21 \\
x=126$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Uczniowie, którzy chcą pójść do technikum stanowić będą \(\frac{1}{6}\) wszystkich uczniów. Musimy więc zamienić ten ułamek na procenty:
$$\frac{1}{6}\cdot100\%=\frac{100}{6}\%=16\frac{2}{3}\%$$

To oznacza, że takich uczniów jest mniej niż \(20\%\).

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Sprawdźmy jakie kombinacje spełniają warunku otwarcia zamka. Muszą to być trzy kolejne liczby parzyste, zatem mogą to być następujące kombinacje cyfr:
$$(0,2,4); (2,4,6); (4,6,8)$$

Cyfra \(0\) pojawia się tylko w jednym z tych trzech przypadków, zatem prawdopodobieństwo, iż pierwszą cyfrą szyfru jest \(0\), wynosi \(\frac{1}{3}\). Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy w poprzednim kroku, są trzy możliwości zakodowania zamka, zatem zdanie jest prawdą.

D

Podstawiając do wyrażenia \(3a-a^2\) wartość \(a=\sqrt{5}\) otrzymamy:
$$3\cdot\sqrt{5}-\sqrt{5}^2=3\sqrt{5}-5$$

Korzystając z przybliżenia \(\sqrt{5}\approx2,24\) otrzymamy:
$$3\sqrt{5}-5\approx3\cdot2,24-5\approx6,72-5\approx1,72\approx2$$

B

Krok 1. Obliczenie prędkości jazdy Agaty.
Agata pokonuje \(400m\) w ciągu minuty. Korzystając ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\) moglibyśmy błyskawicznie obliczyć prędkość jej jazdy, ale... dobrze byłoby już na wstępie ujednolicić jednostki. Skoro prędkość Kamila podana jest w \(\frac{km}{h}\), to do obliczeń prędkości Agaty najlepiej będzie przyjąć \(s=0,4km\) oraz \(t=\frac{1}{60}h\). Teraz śmiało możemy przejść do rozwiązywania:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{0,4}{\frac{1}{60}} \\
v=0,4:\frac{1}{60} \\
v=0,4\cdot60 \\
v=24[\frac{km}{h}]$$

Krok 2. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Sprawdźmy zatem poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. To nieprawda. Prędkość półtora raza mniejsza od prędkości Agaty to \(24\frac{km}{h}:1,5=16\frac{km}{h}\), a Kamil jedzie z prędkością \(18\frac{km}{h}\).
Odp. B. To prawda. Agata jedzie szybciej o \(24\frac{km}{h}-18\frac{km}{h}=6\frac{km}{h}\). To oznacza, że jej prędkość jest większa o \(\frac{6\frac{km}{h}}{18\frac{km}{h}}=\frac{1}{3}\approx33\%\).
Odp. C. To nieprawda, bowiem poruszają się oni z różną prędkością.
Odp. D. To nieprawda, gdyż Agata jedzie z prędkością o \(6\frac{km}{h}\) większą (a nie mniejszą) niż Kamil.

C

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Korzystając ze wzoru na pole kwadratu możemy zapisać, że:
$$P=a^2 \\
a^2=48 \\
a=\sqrt{48} \quad\lor\quad a=-\sqrt{48}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=\sqrt{48}\). Z tego pierwiastka możemy jeszcze wyłączyć czynnik, zatem:
$$a=\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}[cm]$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(d=a\sqrt{2}\). Skoro nasz kwadrat ma bok o długości \(4\sqrt{3}\), to jego przekątna będzie równa:
$$d=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} \\
d=4\sqrt{6}$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Trójkąt \(KLN\) jest trójkątem prostokątnym w którym znamy już miary dwóch kątów: \(26°\) oraz \(90°\). Musimy ustalić teraz jaka jest miara trzeciego kąta, czyli kąta \(NKL\), zatem:
$$|\sphericalangle NKL|=180°-90°-26°=64°$$

To oznacza, że zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając z własności kątów naprzemianległych powinniśmy dostrzec, że kąty \(KLN\) oraz \(LNM\) będą miały jednakową miarę, czyli kąt \(LNM\) będzie miał także \(26°\).

Na kąt \(KNM\) składają się dwa kąty: \(KNL\) oraz \(LNM\). Skoro kąt \(KNL\) ma miarę \(90°\), to kąt \(LNM\) ma miarę:
$$|\sphericalangle LNM|=116°-90°=26°$$

Z treści zadania wynika, że trójkąt \(NLM\) jest równoramienny (bo boki \(LM\) oraz \(MN\) są sobie równe). Trójkąty równoramienne mają jednakową miarę kąta przy swojej podstawie. To by oznaczało, że w takim razie kąt \(NLM\) ma także miarę \(26°\).


Skoro tak, to kąt \(KLM\), na który składają się kąty \(KLN\) oraz \(NLM\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle KLM|=26°+26°=52°$$

Wiemy już zatem, że kąt \(NKL\) ma miarę \(64°\), natomiast \(KLM\) ma miarę \(52°\). W trapezach równoramiennych kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę, a tu widzimy że tak się nie stało. To oznacza, że ten trapez nie jest równoramienny.

B

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich kwadracików.
Nasz prostokąt ma wymiary \(10\times4\), zatem wszystkich kwadracików mamy:
$$10\cdot4=40$$

Krok 2. Obliczenie liczby kwadracików niezamalowanych i zamalowanych.
Podejdźmy do tego zadania nieco sprytniej. Widzimy wyraźnie, że pomalowanych kawałków jest znacznie więcej niż niepomalowanych, więc policzmy ile kawałków jest niezamalowanych. Zwróć uwagę na to, że dwie połówki dają tak naprawdę jeden cały kwadracik:


Widzimy wyraźnie, że niezamalowanych kwadracików jest \(14\), a to oznacza, że zamalowanych kwadracików mamy:
$$40-14=26$$

Krok 3. Obliczenie jaki procent prostokąta został zamalowany.
Zamalowano \(26\) z \(40\) kwadracików, zatem zamalowano:
$$\frac{26}{40}=\frac{13}{20}=\frac{65}{100}=65\%$$

B

W tym zadaniu niezłą podpowiedzią jest sam sposób zapisania odpowiedzi \(ABCD\). Widzimy, że są one zapisane w formie potęg, co powinno nam zasugerować, że wszystkie te liczby mając coś wspólnego z potęgowaniem. Po analizie tabelki powinniśmy dostrzec, że:
$$1=1^2 \\
8=2^3 \\
9=3^2 \\
64=4^3 \\
... \\
216=6^3$$

Widzimy, że zasada dopisywania kolejnych liczb jest następująca: podstawa potęgi zwiększa się o \(1\), a wykładniki potęg to naprzemiennie \(2\) oraz \(3\). To oznacza poszukiwaną przez nas liczba będzie \(5^2\).

B

Wiemy, że temperatura w sobotę jest średnią arytmetyczną temperatur z pozostałych sześciu dni, zatem:
$$średnia=\frac{19+21+26+27+28+23}{6} \\
średnia=\frac{144}{6} \\
średnia=24$$

To oznacza, że w sobotę odnotowano temperaturę \(24°C\).

B, D

Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Na samym początku musimy ujednolicić jednostki, bowiem jedna miara podana jest w \(km\), a druga w \(cm\).

Odległość \(150km\) to \(150\;000m\), czyli \(15\;000\;000cm\).
Skoro mapa pomniejsza rzeczywistą odległość \(600\) tysięcy razy, to odcinek ten na mapie będzie miał długość:
$$\require{cancel}150\cancel{00000}cm:6\cancel{00000}=25cm$$

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Tutaj także musimy ujednolicić jednostki, bowiem jedna miara podana jest w \(m\), a druga w \(cm\).

Długość \(28m\) to \(2800cm\).
Skoro długość \(2800cm\) jest reprezentowana na mapie przez odcinek o długości \(3,5cm\), to znaczy że mapa pomniejsza nam obiekt \(2800:3,5=800\) razy. Z tego też względu skala mapy będzie równa \(1:800\).

Punkt \(B\) nie leży w podanym kole.

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Aby dowiedzieć się, czy punkt \(B\) należy do koła, to musimy sprawdzić jaka jest odległość od punktu \(A\) do punktu \(B\). Jeżeli ta odległość jest mniejsza lub równa promieniowi koła, to punkt \(B\) będzie leżeć w kole. Jeżeli ta odległość jest większa od długości promienia, to punkt \(B\) będzie poza kołem.

Aby obliczyć długość odcinka \(AB\) możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:


Nasz odcinek \(AB\) jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych równych \(3\), zatem:
$$3^2+3^2=|AB|^2 \\
9+9=|AB|^2 \\
|AB|^2=18 \\
|AB|=\sqrt{18} \quad\lor\quad |AB|=-\sqrt{18}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość odcinka jest na pewno dodatnia, zatem wiemy już, że \(AB=\sqrt{18}\). Na upartego moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przez znak pierwiastka i zapisać, że \(AB=3\sqrt{2}\), ale nie jest to konieczne, bo postać \(\sqrt{18}\) będzie dla nas za chwilę bardzo pożyteczna.

Krok 2. Ustalenie, czy punkt \(B\) leży w kole.
Promień naszego koła to \(r=4\). Odległość od punktu \(A\) do punktu \(B\) wynosi \(\sqrt{18}\). Powinniśmy dostrzec, że \(\sqrt{18}\) jest na pewno większy od \(4\). Skąd to wiemy? Po prostu \(\sqrt{16}=4\), więc \(\sqrt{18}\) musi być większy od \(4\). To oznacza, że punkt \(B\) znajduje się poza kołem.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AB\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

\(P=490cm^2\)

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie równania.
Skoro stosunek długości sąsiednich boków wynosi \(2:5\), to możemy wprowadzić do zadania następujące oznaczenia:
\(2x\) - długość krótszego boku
\(5x\) - długość dłuższego boku

Obwód prostokąta wyliczamy dodając przez siebie długości wszystkich boków, zatem:
$$2\cdot2x+2\cdot5x=98$$

Krok 2. Obliczenie długości boków prostokąta.
Powstało nam proste równanie liniowe, które musimy teraz rozwiązać:
$$2\cdot2x+2\cdot5x=98 \\
4x+10x=98 \\
14x=98 \\
x=7[cm]$$

Teraz musimy spojrzeć na nasze oznaczenia i obliczyć długości poszczególnych boków. Krótszy bok ma długość \(2x\), czyli będzie miał on \(2\cdot7cm=14cm\). Dłuższy bok ma długość \(5x\), czyli będzie to \(5\cdot7cm=35cm\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostokąta.
Na sam koniec musimy obliczyć jeszcze pole powierzchni prostokąta, zatem:
$$P=ab \\
P=14cm\cdot35cm \\
P=490cm^2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(r=\frac{10}{3}\sqrt{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zanim zaczniemy liczyć, to narysujmy sobie szkic tej całej sytuacji, zaznaczając przy okazji kluczowy kąt \(120°\):


Zwróćmy uwagę na to, że powstał nam trójkąt prostokątny o kątach \(30°,60°,90°\). To właśnie on będzie kluczem do rozwiązania tego zadania. Musimy też zauważyć, że dolna przyprostokątna ma długość \(5\), bowiem w trójkątach równoramiennych wysokość dzieli nam podstawę na dwie równe części, a podstawa była równa \(10\).

Krok 2. Obliczenie promienia koła.
Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) wiemy, że jeżeli przyprostokątna leżąca przy kącie \(60°\) ma długość \(a\), to druga przyprostokątna ma długość \(a\sqrt{3}\), a przeciwprostokątna ma długość \(2a\).


Zgodnie z naszymi oznaczeniami widzimy, że dolna przyprostokątna ma długość \(5\), zatem:
$$a\sqrt{3}=5 \\
a=\frac{5}{\sqrt{3}}$$

Nas interesuje długość przeciwprostokątnej, czyli długość \(2a\). W związku z tym:
$$r=2a=2\cdot\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}$$

Otrzymana odpowiedź jest już poprawna, ale powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, a zrobimy to mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\), zatem:
$$r=\frac{10\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
ALBO
• Gdy zamiast promienia okręgu obliczysz wysokość trójkąta \(h=\frac{5}{\sqrt{3}}\) lub \(h=\frac{5\sqrt{3}}{3}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(38zł\) oraz \(44zł\)

Krok 1. Obliczenie ceny promocyjnej pierwszej książki.
Najpierw obliczmy promocyjną cenę pierwszej książki. Wiemy, że pięć książek zakupionych po promocyjnej cenie kosztuje \(152zł\). Skoro tak, to taka pojedyncza książka kosztuje:
$$152zł:5=30,40zł$$

Krok 2. Obliczenie ceny pierwszej książki (przed promocją).
Wiemy, że pierwszy tytuł w promocji kosztuje \(30,40zł\). Promocyjna cena jest o \(20\%\) niższa od początkowej. To oznacza, że cena promocyjna stanowi \(80\%\) ceny początkowej. Możemy więc ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(80\%\) ceny początkowej jest równe \(30,40zł\)
To \(10\%\) ceny początkowej jest równe \(3,80zł\)
Więc \(100\%\) ceny początkowej jest równe \(38zł\)

Ewentualnie moglibyśmy przyjąć, że \(x\) to początkowa cena pierwszej książki i zapisać, że:
$$0,8x=30,40zł \\
x=38zł$$

Krok 3. Obliczenie ceny drugiej książki (przed promocją).
Wiemy już, że pierwsza książka kosztuje \(38zł\). Koszt zakupu pierwszej i drugiej książki wynosi \(82zł\), zatem druga książka kosztuje:
$$82zł-38zł=44zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz promocyjną cenę pojedynczego egzemplarza pierwszej książki (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy promocyjną cenę wszystkich książek, która wyniesie \(410zł\).
2 pkt
• Gdy obliczysz cenę pierwszej książki przed promocją (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Nie, ponieważ \(\frac{100}{159}\lt\frac{2}{3}\).

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podłogi w pierwszym mieszkaniu.
Wiemy, że w pierwszym mieszkaniu wyłożono już \(24m^2\) nowej podłogi i że jest to \(\frac{3}{8}\) powierzchni podłogi całego mieszkania. Jeżeli więc oznaczymy sobie jako \(x\) pole powierzchni podłogi pierwszego mieszkania, to otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{3}{8}x=24m^2 \\
\frac{1}{8}x=8m^2 \\
x=64m^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni podłogi w drugim mieszkaniu.
Skoro suma podłóg w pierwszym i drugim mieszkaniu jest równa \(159m^2\), a nasze pierwsze mieszkanie ma \(64m^2\) podłóg, to drugie mieszkanie będzie mieć:
$$159m^2-64m^2=95m^2$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni podłogi, która jest już wyłożona w pierwszym i drugim mieszkaniu.
Z treści zadania wiemy, że w pierwszym mieszkaniu wyłożono \(24m^2\) nowej podłogi. Policzmy teraz ile podłogi wyłożono w drugim mieszkaniu.

Wiemy, że w drugim mieszkaniu firmie remontowej zostało do wyłożenia \(3,8m\times5m\), czyli zostało im do wyłożenia:
$$3,8m\cdot5m=19m^2$$

Skoro całe mieszkanie ma \(95m^2\), a do wyłożenia zostało im \(19m^2\), to wyłożono już:
$$95m^2-19m^2=76m^2$$

To oznacza, że w pierwszym i drugim mieszkaniu wyłożono łącznie:
$$24m^2+76m^2=100m^2$$

Krok 4. Zakończenie zadania.
Pytają się nas, czy firma zdołała już wyłożyć podłogę na \(\frac{2}{3}\) powierzchni w obu mieszkaniach. Wiemy, że firma wyłożyła \(100m^2\) ze \(159m^2\), czyli wyłożyła \(\frac{100}{159}\) metrów kwadratowych podłogi. Ułamek \(\frac{100}{159}\) jest na pewno mniejszy od \(\frac{2}{3}\), bowiem \(\frac{2}{3}=\frac{100}{150}\) lub jak kto woli \(\frac{2}{3}=\frac{106}{159}\). To oznacza, że firma wyłożyła mniej niż \(\frac{2}{3}\) podłóg.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz powierzchnię podłóg pierwszego mieszkania (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz powierzchnię podłóg drugiego mieszkania (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(V=1040cm^3\)

Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Z własności rombów wiemy, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym w połowie swojej długości. To oznacza, że otrzymamy następującą sytuację:


Powstały nam na rysunku trójkąty prostokątne z których możemy obliczyć długość boku rombu. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$5^2+12^2=x^2 \\
25+144=x^2 \\
x^2=169 \\
x=13 \quad\lor\quad x=-13$$

Bok rombu jest na pewno liczbą dodatnią, zatem zostaje nam \(x=13\).

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Z treści zadania wynika, że ostrosłup ma wysokość dwa razy dłuższą od boku rombu. Skoro więc bok rombu miał długość \(13cm\), to wysokość będzie równa:
$$H=2\cdot13cm \\
H=26cm$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Znamy długości przekątnych rombu, zatem możemy bez przeszkód obliczyć jego pole powierzchni, które jednocześnie będzie polem podstawy ostrosłupa:
$$P_{p}=\frac{1}{2}ef \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot24 \\
P_{p}=5\cdot24 \\
P_{p}=120[cm^2]$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiemy już, że \(P_{p}=120cm^2\) oraz że \(H=26cm\), zatem objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot120cm^2\cdot26cm \\
V=40cm^2\cdot26cm \\
V=1040cm^3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.