Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - Operon 2019
Zadanie 4. (1pkt) Czy liczby \(216\) i \(621\) są wielokrotnościami tej samej nieparzystej liczby dwucyfrowej?
sumy cyfr w obu liczbach są równe
jedna z liczb jest parzysta, a druga jest nieparzysta
dzielnikiem każdej z danych liczb jest liczba \(3^3\)
Wyjaśnienie:
Do zadania można podejść na kilka sposobów.
I sposób - korzystając z cech podzielności liczb.
Powinniśmy zauważyć, że obydwie liczby są podzielne przez \(9\) (bo suma ich cyfr jest równa \(9\)). Dostrzegając to, moglibyśmy zobaczyć jaki jest wynik tego dzielenia przez \(9\), a będzie to:
$$216:9=24 \\
621:9=69$$
Widzimy, że powstałe liczby są jeszcze podzielne przez \(3\) (bo suma ich cyfr jest podzielna przez \(3\)). Te dwa spostrzeżenia powinny nas doprowadzić do tego, że zarówno \(216\) jak i \(621\) będą w takim razie podzielna przez \(9\cdot3=27\). To oznacza, że faktycznie te dwie liczby są wielokrotnościami nieparzystej liczby dwucyfrowej (czyli wielokrotnościami liczby \(27\)), którą można zapisać jako \(3^3\).
II sposób - rozkładając liczby na czynniki pierwsze.
Równie dobrze do rozwiązania tego zadania moglibyśmy dojść wykonując rozkład liczb na czynniki pierwsze:
$$
\begin{array}{c|c}
216 & 3 \\
72 & 3 \\
24 & 3 \\
8 & 2 \\
4 & 2 \\
2 & 2 \\
1 & \;
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{c|c}
621 & 3 \\
207 & 3 \\
69 & 3 \\
23 & 23 \\
1 & \;
\end{array}
$$
Patrząc się na trzy pierwsze czynniki każdej z liczb możemy stwierdzić, że jedna i druga liczba jest podzielna przez \(3\cdot3\cdot3=3^3\).
Zadanie 6. (1pkt) W pewnej szkole co szósty uczeń klasy ósmej deklaruje, że będzie kontynuował edukację w technikum. W tej szkole jest \(21\) takich uczniów.
Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Do danej szkoły uczęszcza \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\) uczniów klas ósmych.
A. \(105\)
B. \(126\)
Uczniowie, którzy chcą się uczyć w technikum, stanowią \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) niż \(20\%\) wszystkich ósmoklasistów tej szkoły.
C. mniej
D. więcej
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Skoro co szósty uczeń chce iść do technikum i takich osób jest łącznie \(21\), to uczniów w tej szkole jest:
$$6\cdot21=126$$
Ewentualnie moglibyśmy to zapisać w postaci równania, gdzie niewiadomą \(x\) jest liczba uczniów szkoły:
$$\frac{1}{6}x=21 \\
x=126$$
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Uczniowie, którzy chcą pójść do technikum stanowić będą \(\frac{1}{6}\) wszystkich uczniów. Musimy więc zamienić ten ułamek na procenty:
$$\frac{1}{6}\cdot100\%=\frac{100}{6}\%=16\frac{2}{3}\%$$
To oznacza, że takich uczniów jest mniej niż \(20\%\).
Zadanie 7. (1pkt) Blokada rowerowa ma zapięcie z szyfrowanym zamkiem z trzema zapadkami. Na każdej z zapadek można ustawić cyfry od \(0\) do \(9\). Szyfr otwierający zamek tej blokady tworzą trzy cyfry, które są kolejnymi liczbami parzystymi.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli jest fałszywe.
Prawdopodobieństwo, że pierwszą cyfrą szyfru jest cyfra \(0\), wynosi \(\frac{1}{9}\).
Istnieją trzy możliwości wyboru szyfru dla zamka w takiej blokadzie.
Odpowiedź
1) FAŁSZ
2) PRAWDA
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Sprawdźmy jakie kombinacje spełniają warunku otwarcia zamka. Muszą to być trzy kolejne liczby parzyste, zatem mogą to być następujące kombinacje cyfr:
$$(0,2,4); (2,4,6); (4,6,8)$$
Cyfra \(0\) pojawia się tylko w jednym z tych trzech przypadków, zatem prawdopodobieństwo, iż pierwszą cyfrą szyfru jest \(0\), wynosi \(\frac{1}{3}\). Zdanie jest więc fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy w poprzednim kroku, są trzy możliwości zakodowania zamka, zatem zdanie jest prawdą.
Zadanie 9. (1pkt) Jeśli Kamil jedzie rowerem ze średnią prędkością \(18\frac{km}{h}\), a Agata na hulajnodze elektrycznej pokonuje każde \(400m\) w ciągu minuty, to znaczy, że:
A. Kamil jedzie z prędkością półtora raza mniejszą niż Agata
B. Prędkość jazdy Agaty jest większa ok. \(33\%\) od prędkości Kamila
C. Kamil i Agata poruszają się z tą samą prędkością
D. Agata jedzie z prędkością o \(6\frac{km}{h}\) mniejszą niż Kamil
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie prędkości jazdy Agaty.
Agata pokonuje \(400m\) w ciągu minuty. Korzystając ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\) moglibyśmy błyskawicznie obliczyć prędkość jej jazdy, ale... dobrze byłoby już na wstępie ujednolicić jednostki. Skoro prędkość Kamila podana jest w \(\frac{km}{h}\), to do obliczeń prędkości Agaty najlepiej będzie przyjąć \(s=0,4km\) oraz \(t=\frac{1}{60}h\). Teraz śmiało możemy przejść do rozwiązywania:
$$v=\frac{s}{t} \\
v=\frac{0,4}{\frac{1}{60}} \\
v=0,4:\frac{1}{60} \\
v=0,4\cdot60 \\
v=24[\frac{km}{h}]$$
Krok 2. Wybór prawidłowej odpowiedzi.
Sprawdźmy zatem poprawność każdej z odpowiedzi:
Odp. A. To nieprawda. Prędkość półtora raza mniejsza od prędkości Agaty to \(24\frac{km}{h}:1,5=16\frac{km}{h}\), a Kamil jedzie z prędkością \(18\frac{km}{h}\).
Odp. B. To prawda. Agata jedzie szybciej o \(24\frac{km}{h}-18\frac{km}{h}=6\frac{km}{h}\). To oznacza, że jej prędkość jest większa o \(\frac{6\frac{km}{h}}{18\frac{km}{h}}=\frac{1}{3}\approx33\%\).
Odp. C. To nieprawda, bowiem poruszają się oni z różną prędkością.
Odp. D. To nieprawda, gdyż Agata jedzie z prędkością o \(6\frac{km}{h}\) większą (a nie mniejszą) niż Kamil.
Zadanie 11. (1pkt) Dany jest trapez \(KLMN\), w którym boki \(LM\) i \(MN\) są przystające, a przekątna \(LN\) jest prostopadła do boku \(KN\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli jest fałszywe.
Kąt ostry \(NKL\) ma miarę \(64°\).
Trapez \(KLMN\) jest trapezem równoramiennym.
Odpowiedź
1) PRAWDA
2) FAŁSZ
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Trójkąt \(KLN\) jest trójkątem prostokątnym w którym znamy już miary dwóch kątów: \(26°\) oraz \(90°\). Musimy ustalić teraz jaka jest miara trzeciego kąta, czyli kąta \(NKL\), zatem:
$$|\sphericalangle NKL|=180°-90°-26°=64°$$
To oznacza, że zdanie jest prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając z własności kątów naprzemianległych powinniśmy dostrzec, że kąty \(KLN\) oraz \(LNM\) będą miały jednakową miarę, czyli kąt \(LNM\) będzie miał także \(26°\).
Na kąt \(KNM\) składają się dwa kąty: \(KNL\) oraz \(LNM\). Skoro kąt \(KNL\) ma miarę \(90°\), to kąt \(LNM\) ma miarę:
$$|\sphericalangle LNM|=116°-90°=26°$$
Z treści zadania wynika, że trójkąt \(NLM\) jest równoramienny (bo boki \(LM\) oraz \(MN\) są sobie równe). Trójkąty równoramienne mają jednakową miarę kąta przy swojej podstawie. To by oznaczało, że w takim razie kąt \(NLM\) ma także miarę \(26°\).
Skoro tak, to kąt \(KLM\), na który składają się kąty \(KLN\) oraz \(NLM\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle KLM|=26°+26°=52°$$
Wiemy już zatem, że kąt \(NKL\) ma miarę \(64°\), natomiast \(KLM\) ma miarę \(52°\). W trapezach równoramiennych kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę, a tu widzimy że tak się nie stało. To oznacza, że ten trapez nie jest równoramienny.
Zadanie 15. (1pkt) Uzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Na mapie, która pomniejsza \(600\) tys. razy, rzeczywista odległość \(150km\) będzie odcinkiem o długości \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\).
A. \(4cm\)
B. \(25cm\)
Na planie wykonanym w skali \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) budynek o rzeczywistej długości \(28m\) to odcinek o długości \(3,5cm\).
C. \(1:125\)
D. \(1:800\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Na samym początku musimy ujednolicić jednostki, bowiem jedna miara podana jest w \(km\), a druga w \(cm\).
Odległość \(150km\) to \(150\;000m\), czyli \(15\;000\;000cm\).
Skoro mapa pomniejsza rzeczywistą odległość \(600\) tysięcy razy, to odcinek ten na mapie będzie miał długość:
$$\require{cancel}150\cancel{00000}cm:6\cancel{00000}=25cm$$
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Tutaj także musimy ujednolicić jednostki, bowiem jedna miara podana jest w \(m\), a druga w \(cm\).
Długość \(28m\) to \(2800cm\).
Skoro długość \(2800cm\) jest reprezentowana na mapie przez odcinek o długości \(3,5cm\), to znaczy że mapa pomniejsza nam obiekt \(2800:3,5=800\) razy. Z tego też względu skala mapy będzie równa \(1:800\).
Zadanie 16. (2pkt) W prostokątnym układzie współrzędnych dane są dwa punkty: \(A=(-1;-2)\) i \(B=(2;1)\).
Czy punkt \(B\) leży w kole o środku w punkcie \(A\) i promieniu \(r=4\)? Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź
Punkt \(B\) nie leży w podanym kole.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Aby dowiedzieć się, czy punkt \(B\) należy do koła, to musimy sprawdzić jaka jest odległość od punktu \(A\) do punktu \(B\). Jeżeli ta odległość jest mniejsza lub równa promieniowi koła, to punkt \(B\) będzie leżeć w kole. Jeżeli ta odległość jest większa od długości promienia, to punkt \(B\) będzie poza kołem.
Aby obliczyć długość odcinka \(AB\) możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
Nasz odcinek \(AB\) jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych równych \(3\), zatem:
$$3^2+3^2=|AB|^2 \\
9+9=|AB|^2 \\
|AB|^2=18 \\
|AB|=\sqrt{18} \quad\lor\quad |AB|=-\sqrt{18}$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo długość odcinka jest na pewno dodatnia, zatem wiemy już, że \(AB=\sqrt{18}\). Na upartego moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przez znak pierwiastka i zapisać, że \(AB=3\sqrt{2}\), ale nie jest to konieczne, bo postać \(\sqrt{18}\) będzie dla nas za chwilę bardzo pożyteczna.
Krok 2. Ustalenie, czy punkt \(B\) leży w kole.
Promień naszego koła to \(r=4\). Odległość od punktu \(A\) do punktu \(B\) wynosi \(\sqrt{18}\). Powinniśmy dostrzec, że \(\sqrt{18}\) jest na pewno większy od \(4\). Skąd to wiemy? Po prostu \(\sqrt{16}=4\), więc \(\sqrt{18}\) musi być większy od \(4\). To oznacza, że punkt \(B\) znajduje się poza kołem.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AB\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 17. (2pkt) W prostokącie o obwodzie \(98cm\) stosunek długości sąsiednich boków wynosi \(2:5\). Oblicz pole tego prostokąta.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie równania.
Skoro stosunek długości sąsiednich boków wynosi \(2:5\), to możemy wprowadzić do zadania następujące oznaczenia:
\(2x\) - długość krótszego boku
\(5x\) - długość dłuższego boku
Obwód prostokąta wyliczamy dodając przez siebie długości wszystkich boków, zatem:
$$2\cdot2x+2\cdot5x=98$$
Krok 2. Obliczenie długości boków prostokąta.
Powstało nam proste równanie liniowe, które musimy teraz rozwiązać:
$$2\cdot2x+2\cdot5x=98 \\
4x+10x=98 \\
14x=98 \\
x=7[cm]$$
Teraz musimy spojrzeć na nasze oznaczenia i obliczyć długości poszczególnych boków. Krótszy bok ma długość \(2x\), czyli będzie miał on \(2\cdot7cm=14cm\). Dłuższy bok ma długość \(5x\), czyli będzie to \(5\cdot7cm=35cm\).
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostokąta.
Na sam koniec musimy obliczyć jeszcze pole powierzchni prostokąta, zatem:
$$P=ab \\
P=14cm\cdot35cm \\
P=490cm^2$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 18. (2pkt) W kole narysowano cięciwę o długości \(10cm\), a jej końce połączono odcinkami ze środkiem koła, tak że powstał trójkąt, którego jeden z kątów ma miarę \(120°\). Oblicz, jaką długość ma promień tego koła.
Odpowiedź
\(r=\frac{10}{3}\sqrt{3}\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zanim zaczniemy liczyć, to narysujmy sobie szkic tej całej sytuacji, zaznaczając przy okazji kluczowy kąt \(120°\):
Zwróćmy uwagę na to, że powstał nam trójkąt prostokątny o kątach \(30°,60°,90°\). To właśnie on będzie kluczem do rozwiązania tego zadania. Musimy też zauważyć, że dolna przyprostokątna ma długość \(5\), bowiem w trójkątach równoramiennych wysokość dzieli nam podstawę na dwie równe części, a podstawa była równa \(10\).
Krok 2. Obliczenie promienia koła.
Korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\) wiemy, że jeżeli przyprostokątna leżąca przy kącie \(60°\) ma długość \(a\), to druga przyprostokątna ma długość \(a\sqrt{3}\), a przeciwprostokątna ma długość \(2a\).
Zgodnie z naszymi oznaczeniami widzimy, że dolna przyprostokątna ma długość \(5\), zatem:
$$a\sqrt{3}=5 \\
a=\frac{5}{\sqrt{3}}$$
Nas interesuje długość przeciwprostokątnej, czyli długość \(2a\). W związku z tym:
$$r=2a=2\cdot\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}$$
Otrzymana odpowiedź jest już poprawna, ale powinniśmy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, a zrobimy to mnożąc licznik i mianownik przez \(\sqrt{3}\), zatem:
$$r=\frac{10\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
ALBO
• Gdy zamiast promienia okręgu obliczysz wysokość trójkąta \(h=\frac{5}{\sqrt{3}}\) lub \(h=\frac{5\sqrt{3}}{3}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 19. (3pkt) Łączny koszt zakupu dwóch książek o różnych tytułach wynosił \(82zł\). Do biblioteki zakupiono po \(5\) sztuk każdej z nich w promocyjnej cenie o \(20\%\) niższej. Koszt zakupu pierwszego tytułu wyniósł \(152zł\). Oblicz cenę każdej z książek przed promocją.
Odpowiedź
\(38zł\) oraz \(44zł\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie ceny promocyjnej pierwszej książki.
Najpierw obliczmy promocyjną cenę pierwszej książki. Wiemy, że pięć książek zakupionych po promocyjnej cenie kosztuje \(152zł\). Skoro tak, to taka pojedyncza książka kosztuje:
$$152zł:5=30,40zł$$
Krok 2. Obliczenie ceny pierwszej książki (przed promocją).
Wiemy, że pierwszy tytuł w promocji kosztuje \(30,40zł\). Promocyjna cena jest o \(20\%\) niższa od początkowej. To oznacza, że cena promocyjna stanowi \(80\%\) ceny początkowej. Możemy więc ułożyć prostą proporcję:
Skoro \(80\%\) ceny początkowej jest równe \(30,40zł\)
To \(10\%\) ceny początkowej jest równe \(3,80zł\)
Więc \(100\%\) ceny początkowej jest równe \(38zł\)
Ewentualnie moglibyśmy przyjąć, że \(x\) to początkowa cena pierwszej książki i zapisać, że:
$$0,8x=30,40zł \\
x=38zł$$
Krok 3. Obliczenie ceny drugiej książki (przed promocją).
Wiemy już, że pierwsza książka kosztuje \(38zł\). Koszt zakupu pierwszej i drugiej książki wynosi \(82zł\), zatem druga książka kosztuje:
$$82zł-38zł=44zł$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz promocyjną cenę pojedynczego egzemplarza pierwszej książki (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy promocyjną cenę wszystkich książek, która wyniesie \(410zł\).
2 pkt
• Gdy obliczysz cenę pierwszej książki przed promocją (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 20. (3pkt) Firma remontowa otrzymała zlecenie na położenie nowych podłóg w dwóch mieszkaniach o łącznej powierzchni \(159m^2\). W pierwszym mieszkaniu wyłożono już \(24m^2\) nowej podłogi, co stanowi \(\frac{3}{8}\) powierzchni podłogi w tym mieszkaniu. W drugim natomiast pozostała jeszcze do położenia tylko podłoga w pokoju o wymiarach \(3,8m\times5m\). Czy firma położyła już podłogę na \(\frac{2}{3}\) powierzchni w obu mieszkaniach? Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź
Nie, ponieważ \(\frac{100}{159}\lt\frac{2}{3}\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podłogi w pierwszym mieszkaniu.
Wiemy, że w pierwszym mieszkaniu wyłożono już \(24m^2\) nowej podłogi i że jest to \(\frac{3}{8}\) powierzchni podłogi całego mieszkania. Jeżeli więc oznaczymy sobie jako \(x\) pole powierzchni podłogi pierwszego mieszkania, to otrzymamy następujące równanie:
$$\frac{3}{8}x=24m^2 \\
\frac{1}{8}x=8m^2 \\
x=64m^2$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni podłogi w drugim mieszkaniu.
Skoro suma podłóg w pierwszym i drugim mieszkaniu jest równa \(159m^2\), a nasze pierwsze mieszkanie ma \(64m^2\) podłóg, to drugie mieszkanie będzie mieć:
$$159m^2-64m^2=95m^2$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni podłogi, która jest już wyłożona w pierwszym i drugim mieszkaniu.
Z treści zadania wiemy, że w pierwszym mieszkaniu wyłożono \(24m^2\) nowej podłogi. Policzmy teraz ile podłogi wyłożono w drugim mieszkaniu.
Wiemy, że w drugim mieszkaniu firmie remontowej zostało do wyłożenia \(3,8m\times5m\), czyli zostało im do wyłożenia:
$$3,8m\cdot5m=19m^2$$
Skoro całe mieszkanie ma \(95m^2\), a do wyłożenia zostało im \(19m^2\), to wyłożono już:
$$95m^2-19m^2=76m^2$$
To oznacza, że w pierwszym i drugim mieszkaniu wyłożono łącznie:
$$24m^2+76m^2=100m^2$$
Krok 4. Zakończenie zadania.
Pytają się nas, czy firma zdołała już wyłożyć podłogę na \(\frac{2}{3}\) powierzchni w obu mieszkaniach. Wiemy, że firma wyłożyła \(100m^2\) ze \(159m^2\), czyli wyłożyła \(\frac{100}{159}\) metrów kwadratowych podłogi. Ułamek \(\frac{100}{159}\) jest na pewno mniejszy od \(\frac{2}{3}\), bowiem \(\frac{2}{3}=\frac{100}{150}\) lub jak kto woli \(\frac{2}{3}=\frac{106}{159}\). To oznacza, że firma wyłożyła mniej niż \(\frac{2}{3}\) podłóg.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz powierzchnię podłóg pierwszego mieszkania (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz powierzchnię podłóg drugiego mieszkania (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 21. (3pkt) W ostrosłupie prostym podstawą jest romb o przekątnych \(10cm\) i \(24cm\). Wysokość ostrosłupa jest dwa razy dłuższa niż bok rombu. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości boku rombu.
Z własności rombów wiemy, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym w połowie swojej długości. To oznacza, że otrzymamy następującą sytuację:
Powstały nam na rysunku trójkąty prostokątne z których możemy obliczyć długość boku rombu. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$5^2+12^2=x^2 \\
25+144=x^2 \\
x^2=169 \\
x=13 \quad\lor\quad x=-13$$
Bok rombu jest na pewno liczbą dodatnią, zatem zostaje nam \(x=13\).
Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Z treści zadania wynika, że ostrosłup ma wysokość dwa razy dłuższą od boku rombu. Skoro więc bok rombu miał długość \(13cm\), to wysokość będzie równa:
$$H=2\cdot13cm \\
H=26cm$$
Krok 3. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Znamy długości przekątnych rombu, zatem możemy bez przeszkód obliczyć jego pole powierzchni, które jednocześnie będzie polem podstawy ostrosłupa:
$$P_{p}=\frac{1}{2}ef \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot24 \\
P_{p}=5\cdot24 \\
P_{p}=120[cm^2]$$
Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Wiemy już, że \(P_{p}=120cm^2\) oraz że \(H=26cm\), zatem objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot120cm^2\cdot26cm \\
V=40cm^2\cdot26cm \\
V=1040cm^3$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Doskonałe, przejrzyste wytłumaczenia, brawo!
Dzięki wielkie
Czy egzamin próbny ósmoklasisty z języka angielskiego 2020 znajdę tutaj?
Tutaj uczę tylko matematyki :)
naprawdę super że robicie coś takiego! Bardzo dziękuję!
Stronę prowadzę samodzielnie, więc tym milej mi to słyszeć :) Pozdrawiam i dziękuję!
według mnie w zadaniu 7 prawdopodobieństwo, że pierwszą cyfrą szyfru jest cyfra 0, wynosi 1/3 bo to jedna z 3 kombinacji (0,2,4);(2,4,6);(4,6,8)
Hmmm… no tak powiem Ci szczerze, że teraz mam zagwozdkę, bo zdałem sobie sprawę z tego, że trochę niejednoznaczne jest to zadanie :D Nie wiadomo, czy chodzi ogólnie o jakikolwiek szyfr, czy o pasujący szyfr w tej blokadzie (co jest wyraźnie zaznaczone dopiero w drugim zdaniu). Na pewno zdanie jest fałszem (niezależnie od interpretacji), ale muszę przyznać, że sam teraz dostrzegam, iż można do tego podejść na różne sposoby. Może jeszcze inni Czytelnicy się wypowiedzą, to zobaczymy jak to inni odczytują :)
Dziękuję za komentarz!
Zgadzam się. Są przecież tylko trzy możliwości zapisania parzystych cyfr rosnąco.
Widzę, że sporo osób podchodzi do tego zadania właśnie w ten sposób, więc po czasie przychylam się do Waszej interpretacji i zmieniam właśnie wyjaśnienie do tego zadania ;) Co prawda takie podejście sprawia, że trochę te pytania prawda/fałsz się tutaj dublują, no ale może tak miało być ;)
Też zgadzam się co do 1/3 :).
Dziękuję, mogę zrobić samodzielnie egzamin, a potem go sprawdzić. Ponadto pomaga mi w zadaniach, których nie rozumiem. ;)
Mam pytanie Czy w zadaniu 13 nie bardziej pasowała by odpowiedź c?
Tak to świetny test.
Nie nie ;) Naprzemiennie jest potęga 2 i 3, więc w piątej kratce będzie potęga 2 :)
naprawdę szacun dzięki da się nauczyć z tego suuuuperr
super wytłumaczone!! Dziękuję w imieniu 8c z klt (pozdrawiam panią Beatke ;*)
W zadaniu 7 powiedziane jest że szyfr otwierający zamek tej blokady tworzą trzy cyfry które są kolejnymi liczbami parzystymi. W odpowiedzi z kolei pisze że mogą być takie trzy kombinacje: ( 0,2,4 ; 2,4,6 ; 4,6,8). Ale z tego co mi wiadomo 0 nie jest liczbą parzystą. Jeśli się mylę proszę mnie poprawić.
Pozdrawiam
0 jest liczbą parzystą :)
Dzięki, świetna strona
Nie ma się do czego przyczepić.
Skąd przybliżenie w zadaniu 8? (skąd uczeń ma znać, że sobie tak pozwolę doprecyzować)
Jeśli nie wiemy ile to jest w przybliżeniu √5, to wiemy przecież, że √4=2 oraz √9=3. To oznacza, że √5 musi być nieco większe od 2 i mniejsze od 3 (i to tak bliżej 2 niż 3 będzie, bo 5 jest bliżej czwórki niż dziewiątki) :)
To wyjaśnienie według mnie nie jest dobre. Wiedząc, że pierwiastek z 5 jest między 2 i 3 daje nam tylko oszacowanie 1<3 √5-5<4. Argument za tym, że pierwiastek z 5 jest „bliżej 2 niż 3, bo 5 jest bliżej czwórki niż dziewiątki” intuicyjnie może kogoś przekonać, ale według tego rozumowania na przykład pierwiastek z 6 będzie bliżej 1 (czyli pierwiastka z 1) niż pierwiastka z 12, „bo 6 jest bliżej 1 niz 12”. Jednak pierwiastek z 6 to w przybliżeniu 2,45, zaś pierwiastek z 12 to około 3,46. Czyli tak naprawdę pierwiastek z 6 jest bliżej pierwiastka z 12, niż… Czytaj więcej »
Pełna zgoda ;) Ja po prostu napisałem szybki komentarz bez wchodzenia w tak drobiazgowe szczegóły, ale skoro już zdecydowałeś/aś się rozwinąć to bardziej to ze swojej strony dziękuję za ten wpis ;)
bardzo przydatna odpowiedź kolego pozdrawiam :D