W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta

W trójkącie równoramiennym wysokość jest dwa razy dłuższa od podstawy. Wynika stąd, że sinus kąta przy podstawie wynosi:

Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby uniknąć działań na ułamkach zapiszmy sobie, że podstawa trójkąta ma długość \(2x\), natomiast wysokość jest równa \(4x\).

matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Spójrzmy na otrzymany trójkąt prostokątny, bo to z niego teraz będziemy korzystać przy wyznaczeniu wartości sinusa. Do obliczenia sinusa potrzebna nam jest znajomość przeciwprostokątnej trójkąta, a tę wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa. W podstawie trójkąta prostokątnego znajduje się bok długości \(x\) (bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części), natomiast druga przyprostokątna ma długość \(4x\). W związku z tym:
$$x^2+(4x)^2=c^2 \\
x^2+16x^2=c^2 \\
17x^2=c^2 \\
c=\sqrt{17}x \quad\lor\quad c=-\sqrt{17}x$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem \(c=\sqrt{17}x\).

Krok 3. Zapisanie wartości sinusa.
Sinus opisuje nam relacje między długością przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta oraz długością przeciwprostokątej. W związku z tym:
$$sinα=\frac{4x}{\sqrt{17}x} \\
sinα=\frac{4}{\sqrt{17}} \\
sinα=\frac{4\cdot\sqrt{17}}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{17}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{17}}{17}$$

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz