Matura – Matematyka – Maj 2019

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania \(x^3-8=0\) oraz \(x^2-4x-5=0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Aby wartość tego równania była równa \(0\), to któryś z nawiasów musi być równy zero. Możemy więc zapisać, że:
$$x^3-8=0 \quad\lor\quad x^2-4x-5=0$$

Obliczmy więc każde z równań oddzielnie:
I równanie:
\(x^3-8=0 \\
x^3=8 \\
x=2\)

II równanie:
Jest to równanie w postaci ogólnej, zatem możemy tutaj skorzystać z delty:
$$Δ=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16-(-20)=36 \\
\sqrt{Δ}=6 \\
\\
x_{1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$$

W związku z tym to równanie ma trzy rozwiązania: \(x=2\), \(x=-1\) oraz \(x=5\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Aby wyznaczyć miejsca zerowe musimy przyrównać wartość \(3x^2-16x+16\) do zera, zatem musimy rozwiązać równanie:
$$3x^2-16x+16=0$$

Jest to równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy obliczyć je korzystając z delty:
$$Δ=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=256-192=64 \\
\sqrt{Δ}=8 \\
\\
x_{1}=\frac{16-8}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \\
x_{2}=\frac{16+8}{6}=\frac{24}{6}=4$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań nierówności.
Współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe i otrzymamy następującą sytuację:


Nas interesują wartości większe od zera, czyli to co znalazło się nad osią iksów. Rozwiązaniem tej nierówności będzie więc przedział:
$$x\in(-\infty;\frac{4}{3})\cup(4;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając ze wzorów skróconego mnożenia poprawnie rozpiszesz lewą stronę nierówności, chociażby do postaci \(a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2\) (patrz: Krok 1.) lub jakiejkolwiek innej podobnej.
ALBO
• Gdy obliczysz deltę z parametrem \(b\), otrzymując \(Δ=-32b^2\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Rozpisanie podanego wyrażenia.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym możemy rozbić sobie wyrażenie z treści zadania na takie, by jego częściami składowymi był właśnie zapis \(a^2-2ab+b^2\). Całość wyglądałaby następująco:
$$3a^2-2ab+3b^2=a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Przeanalizujmy sobie każdy ze składników powstałej sumy:
\((a-b)^2\) - jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero, bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny.
\(2a^2\) - ta liczba też jest na pewno dodatnia lub równa zero, bo \(a^2\) jest na pewno nieujemne, no a liczba nieujemna pomnożona przez \(2\) nadal jest liczbą nieujemną.
\(2b^2\) - podobnie jak \(2a^2\), jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero.

W związku z tym mając dodawanie \((a-b)^2+2a^2+2b^2\) dodajemy do siebie trzy liczby, które są na pewno dodatnie lub równe zero. Stąd też ich suma musi dać wynik większy lub równy \(0\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawną zależność między kątem \(ABS\) i kątem \(α\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(SBC\).
Spójrzmy na trójkąt \(SBC\). Wiemy, że jest to trójkąt równoramienny, bo z treści zadania wynika, że \(SB=BC\). Skoro tak, to kąty przy podstawie tego trójkąta mają identyczną miarę. Jeżeli więc kąt \(ACS\) (czyli tak jakby \(BCS\)) ma miarę \(α\), to kąt \(BSC\) ma także miarę równą \(α\).

To z kolei oznacza, że skoro w trójkącie suma kątów ma być równa \(180°\), to kąt \(SBC\) ma miarę:
$$|\sphericalangle SBC|=180°-α-α=180°-2α$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABS\).
Kąt \(ABS\) i kąt \(SBC\) to kąty przyległe, których łączna miara musi mieć w takim razie \(180°\). Skoro \(|\sphericalangle SBC|=180°-2α\), to znaczy że kąt \(ABS\) musi mieć miarę równą \(2α\). Jeżeli ktoś tego nie dostrzega, to możemy to rozpisać w taki sposób:
$$|\sphericalangle ABS|=180°-|\sphericalangle SBC| \\
|\sphericalangle ABS|=180°-(180°-2α) \\
|\sphericalangle ABS|=180°-180°+2α \\
|\sphericalangle ABS|=2α$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ASB\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABS\). To także trójkąt równoramienny (ramiona \(AS\) oraz \(BS\) są promieniami okręgu), zatem tutaj też kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro więc \(|\sphericalangle ABS|=2α\) to i \(|\sphericalangle SAB|=2α\).

To z kolei oznacza, że trzeci kąt w tym trójkącie, czyli kąt \(ASB\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle ASB|=180°-2α-2α=180°-4α$$

Krok 4. Obliczenie miary kąta \(ASD\).
Suma kątów \(ASD\), \(ASB\) oraz \(BSC\) musi nam dać łącznie \(180°\). Już ustaliliśmy, że \(|\sphericalangle ASB|=180°-4α\) oraz \(|\sphericalangle ASB|=α\). Szukamy miary kąta \(ASD\) zatem:
$$|\sphericalangle ASD|=180°-|\sphericalangle ASB|-|\sphericalangle BSC| \\
|\sphericalangle ASD|=180°-(180°-4α)-α \\
|\sphericalangle ASD|=180°-180°+4α-α \\
|\sphericalangle ASD|=3α$$

Udało nam się udowodnić, że \(|\sphericalangle ASD|=3α\), zatem dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby zdarzeń elementarnych.
Korzystając z reguły mnożenia możemy stwierdzić, że wszystkich par jakie możemy wylosować będziemy mieć dokładnie: \(5\cdot5=25\). W związku z tym \(Ω=25\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie takich liczb, których iloczyn da liczbę nieparzystą. Przykładowo więc wylosowanie \((3;5)\) jest zdarzeniem sprzyjającym, bo \(3\cdot5=15\), ale już \((3;4)\) zdarzeniem sprzyjającym nie będzie, bo \(3\cdot4=12\).

Powinniśmy więc dostrzec, że aby iloczyn dwóch liczb był liczbą nieparzystą, to obydwa czynniki muszą być nieparzyste, czyli w pierwszym losowaniu musi nam wypaść \(1\), \(3\) lub \(5\) i tak samo w drugim losowaniu musimy mieć \(1\), \(3\) lub \(5\). W związku z tym zgodnie z regułą mnożenia takich par będziemy mieć: \(3\cdot3=9\). Możemy więc zapisać, że \(A=9\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Skoro mamy \(9\) zdarzeń sprzyjających, a wszystkich zdarzeń elementarnych jest \(25\), to prawdopodobieństwo wylosowania liczb spełniających warunki zadania będzie równe:
$$P(A)=\frac{9}{25}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trapezu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny którego jeden z kątów ostrych ma miarę \(30°\). Znamy też miarę jednego z boków tego trójkąta, bowiem \(|AC|=4\). Mając miarę kąta oraz jednego boku jesteśmy w stanie obliczyć pozostałe długości boków tego trójkąta, czyli \(AD\) oraz \(DC\). Możemy to zrobić albo z wykorzystaniem własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\) albo po prostu z funkcji trygonometrycznych. Korzystając z własności takiego trójkąta wiemy, że bok \(AD\) jest równy połowie długości \(AC\), zatem:
$$|AD|=2$$

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).


Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABD\). To także jest trójkąt prostokątny w którym znamy długości dwóch boków \(|AD|=2\) oraz \(|AB|=8\), a przeciwprostokątna tego trójkąta to poszukiwana przez nas przekątna trapezu, czyli odcinek \(BD\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa mamy:
$$2^2+8^2=|BD|^2 \\
4+64=|BD|^2 \\
|BD|^2=68 \\
|BD|=\sqrt{68}=\sqrt{4\cdot17}=2\sqrt{17}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie lub wręcz obliczysz sumę sześciu pierwszych wyrazów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie równanie z jedną niewiadomą \(k\) np. \(26+(k−1)\cdot(−4)=-78\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy otrzymany wynik jest błędny ze względny na błędy rachunkowe.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie sumy sześciu wyrazów tego ciągu.
Skoro średnia arytmetyczna sześciu wyrazów tego ciągu jest równa \(16\), to znaczy że:
$$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{6}=16 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=96$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy rozpisać każdy z kolejnych wyrazów w następujący sposób:
\(a_{1} \\
a_{2}=a_{1}+r \\
a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{4}=a_{1}+3r \\
a_{5}=a_{1}+4r \\
a_{6}=a_{1}+5r\)

Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r+a_{1}+5r=96 \\
6a_{1}+15r=96$$

Z treści zadania wynika, że \(r=-4\), zatem mamy:
$$6a_{1}+15\cdot(-4)=96 \\
6a_{1}-60=96 \\
6a_{1}=156 \\
a_{1}=26$$

Krok 3. Obliczenie wartości \(k\) dla której \(a_{k}=-78\).
Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie który wyraz tego ciągu jest równy \(-78\), wiedząc że \(a_{1}=26\) oraz \(r=-4\). Możemy to zrobić korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W zasadzie w tym wzorze zamiast symbolu \(n\) możemy użyć symbolu \(k\), tak aby dopasować się do treści zapisu z zadania, zatem:
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\
-78=26+(k-1)\cdot(-4) \\
-78=26-4k+4 \\
-78=30-4k \\
-4k=-108 \\
k=27$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu \(y=3x\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz odległość punktu \(A\) od prostej o równaniu \(y=3x\) otrzymując \(d=\frac{32\sqrt{10}}{5}\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu \(y=3x\) oraz obliczysz odległość punktu \(A\) od prostej o równaniu \(y=3x\) otrzymując \(d=\frac{32\sqrt{10}}{5}\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie równości wynikające ze wzoru na środek odcinka, które pozwolą obliczyć współrzędne punktu \(B\) (patrz: Krok 5.), ale same współrzędne obliczysz niepoprawnie.
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, które pozwoli wyznaczyć współrzędne punktu \(B\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie tę sytuację w układzie współrzędnych.


Krok 2. Ustalenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Symetralna odcinka to nic innego jak prosta prostopadła, która musi przechodzić przez środek odcinka. Skoro to ma być prosta prostopadła do prostej przechodzącej \(AB\) i wiemy, że ta symetralna wyraża się równaniem \(y=3x\), to możemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) naszej prostej przechodzącej przez punkty \(AB\).

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych ma być równy \(-1\), zatem skoro symetralna ma \(a=3\), to prosta \(AB\) musi mieć ten współczynnik równy \(a=-\frac{1}{3}\).

To też oznacza, że nasza prosta \(AB\) musi wyrażać się wzorem:
$$y=-\frac{1}{3}x+b$$

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(AB\).
Do pełnego wzoru prostej \(AB\) brakuje nam znajomości współczynnika \(b\). Wiemy, że prosta przechodzi przez punkt \(A=(-18,10)\) i podstawiając te współrzędne do wyznaczonej przed chwilą postaci \(y=-\frac{1}{3}x+b\) wyznaczymy brakujący współczynnik \(b\). Zatem:
$$10=-\frac{1}{3}\cdot(-18)+b \\
10=6+b \\
b=4$$

To oznacza, że nasza prosta \(AB\) wyraża się równaniem:
$$y=-\frac{1}{3}x+4$$

Krok 4. Wyznaczenie środka odcinka \(AB\).
Prosta AB oraz symetralna przecinają się w punkcie, który jest środkiem odcinka \(AB\) (jest to własność symetralnej). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązując układ równań składający się z dwóch prostych wyznaczymy współrzędne punktu ich przecięcia, czyli w naszym przypadku współrzędne środka odcinka \(AB\). Zatem:
$$\begin{cases}
y=3x \\
y=-\frac{1}{3}x+4
\end{cases}$$

Korzystając z metody podstawiania mamy:
$$3x=-\frac{1}{3}x+4 \quad\bigg/\cdot3 \\
9x=-x+12 \\
10x=12 \\
x=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$$

Znając wartość iksa możemy teraz obliczyć współrzędną igrekową, korzystając z dowolnego równania np. \(y=3x\), zatem:
$$y=3\cdot\frac{6}{5} \\
y=\frac{18}{5}$$

To oznacza, że współrzędne środka odcinka \(AB\) to:
$$S=\left(\frac{6}{5}; \frac{18}{5}\right)$$

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Znamy współrzędne punktu \(A\), znamy współrzędne punktu \(S\) (czyli środka odcinka), zatem możemy bez przeszkód obliczyć współrzędne punktu \(B\), korzystając ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości obliczeń możemy policzyć każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
\frac{6}{5}=\frac{-18+x_{B}}{2} \\
\frac{12}{5}=-18+x_{B} \\
\frac{12}{5}=-\frac{90}{5}+x_{B} \\
x_{B}=\frac{102}{5}=20\frac{2}{5} \\
\quad \\
\text{oraz} \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
\frac{18}{5}=\frac{10+y_{B}}{2} \\
\frac{36}{5}=10+y_{B} \\
\frac{36}{5}=\frac{50}{5}+y_{B} \\
y_{B}=-\frac{14}{5}=-2\frac{4}{5}$$

To oznacza, że \(B=(20\frac{2}{5}; -2\frac{4}{5})\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(P_{c}=4P_{p}\) oraz \(P_{c}=P_{p}+P_{b}\) lub zapiszesz, że \(P_{b}=3P_{p}\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy (patrz: Krok 6.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie, które pozwoli obliczyć wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 4.), ale samą wysokość policzysz niepoprawnie.
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błąd związany z własnościami jakichś figur lub funkcji trygonometrycznych (np. błędne wyznaczenie długości przekątnej kwadratu, zastosowanie złego wzoru lub też wzięcie złych boków przy liczeniu funkcji trygonometrycznych).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 6.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie ostrosłupa mamy kwadrat o boku \(6\), zatem jego pole będzie równe:
$$P_{p}=6\cdot6=36$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Z treści zadania wynika, że pole powierzchni całkowitej jest cztery razy większe od pola powierzchni podstawy, zatem to pole musi być równe:
$$P_{c}=4\cdot P_{p} \\
P_{c}=4\cdot36 \\
P_{c}=144$$

Krok 3. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej.
Skoro pole powierzchni całkowitej jest równe \(144\), a pole podstawy jest równe \(36\), to pole wszystkich czterech ścian bocznych będzie równe:
$$P_{b}=P_{c}-P_{p} \\
P_{b}=144-36 \\
P_{b}=108$$

My takich ścian mamy cztery, zatem każda z nich (np. ściana \(BCS\)) ma pole powierzchni równe:
$$P_{BCS}=108:4 \\
P_{BCS}=27$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.


Spójrzmy na jedną ze ścian bocznych, np. na trójkąt \(BCS\). Jest to trójkąt o podstawie równej \(6\) i polu powierzchni równym \(27\). W związku z tym w prosty sposób możemy wyznaczyć wysokość tego trójkąta:
$$P=\frac{1}{2}ah_{b} \\
27=\frac{1}{2}\cdot6\cdot h_{b} \\
54=6h_{b} \\
h_{b}=9$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na niebieski trójkąt \(SOE\). Odcinek \(OE\) to będzie długość równa połowie krawędzi podstawy, czyli:
$$|OE|=6:2 \\
|OE|=3$$

Wiemy też, że \(SE\) ma długość \(9\). Jedynym niewiadomym bokiem w tym trójkącie jest więc odcinek \(SO\), czyli wysokość ostrosłupa. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$H^2+3^2=9^2 \\
H^2+9=81 \\
H^2=72 \\
H=6\sqrt{2}$$

Krok 6. Obliczenie długości krawędzi bocznej.
Spójrzmy na trójkąt \(AOS\) i obliczmy długość krawędzi bocznej \(AS\). Odcinek \(AO\) to połowa długości przekątnej podstawy. Skoro mamy kwadrat o boku \(6\), to cała przekątna ma długość \(6\sqrt{2}\), czyli:
$$|AO|=6\sqrt{2}:2 \\
|AO|=3\sqrt{2}$$

Odcinek \(SO\) (czyli wysokość trójkąta) jest już nam znana, zatem ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(3\sqrt{2})^2+(6\sqrt{2})^2=|AS|^2 \\
9\cdot2+36\cdot2=|AS|^2 \\
18+72=|AS|^2 \\
|AS|^2=90 \\
|AS|=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$$

Krok 7. Obliczenie cosinusa kąta alfa.
Znając długość odcinka \(AO\) oraz \(AS\) bez problemu obliczymy cosinus kąta alfa:
$$cosα=\frac{|AO|}{|AS|} \\
cosα=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} \\
cosα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} \\
cosα=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{1}{\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}$$