Matura próbna – Matematyka – Operon 2014

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Najprościej będzie wyliczyć to tzw. metodą delty.
Współczynniki: \(a=-5,\;b=10,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=10^2-4\cdot(-5)\cdot0=100-0=100 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10-10}{2\cdot(-5)}=\frac{-20}{-10}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-10+10}{2\cdot(-5)}=\frac{0}{-10}=0$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, zatem ramiona paraboli będą skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:



Miejsca zerowe \(x=0\) oraz \(x=2\) mają niezamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla przedziału \(x\in(0;2)\) i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej z której potem można obliczyć deltę (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\) to nasz mianownik musi być różny od zera i właśnie ten fakt musimy uwzględnić w naszej dziedzinie. W związku z tym musimy zapisać, że \(x\neq0\).

Krok 2. Rozwiązanie równania.
$$\frac{5x+6}{x}=x \quad\bigg/\cdot x \\
5x+6=x^2 \\
x^2-5x-6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Podczas rozwiązywania powstało nam równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać tradycyjną metodą delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-6)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-7}{2\cdot1}=\frac{5-7}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+7}{2\cdot1}=\frac{5+7}{2}=\frac{12}{2}=6$$

Obydwa rozwiązania nie wykluczają się z naszymi założeniami, zatem obydwa równania są poprawne, czyli \(x=-1 \lor x=6\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz równania prowadzące do obliczenia współrzędnej iksowej oraz igrekowej, ale popełnisz błąd rachunkowy (patrz: Krok 1. oraz 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka w układzie współrzędnych. Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne środka odcinka, znamy też współrzędne jednego z punktów, więc możemy wyznaczyć poszukiwane współrzędne punktu \(A\).

Krok 1. Obliczenie współrzędnej iksowej punktu \(A\).
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
7=\frac{x_{A}+(-3)}{2} \\
14=x_{A}-3 \\
x_{A}=17$$

Krok 2. Obliczenie współrzędnej igrekowej punktu \(A\).
$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
2=\frac{y_{A}+11}{2} \\
4=y_{A}+11 \\
y_{A}=-7$$

To oznacza, że współrzędne punktu \(A\) są równe: \(A=(17;-7)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz dwa równania wynikające z własności ciągu geometrycznego (np. \(16^2=a_{1}\cdot\frac{32}{3}\) oraz \(a_{1}\cdot q=16\)), ale popełnisz błąd rachunkowy (patrz: Krok 1. oraz 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając dane z treści zadania do tego równania otrzymamy:
$$16^2=a_{1}\cdot\frac{32}{3} \\
256=a_{1}\cdot\frac{32}{3} \quad\bigg/\cdot3 \\
768=32a_{1} \\
a_{1}=24$$

Krok 2. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Korzystając ze znajomości wartości np. pierwszego i drugiego wyrazu możemy zapisać, że:
$$a_{1}\cdot q=a_{2} \\
24\cdot q=16 \\
q=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie wykonasz potęgowanie, a w dalszej części popełnisz błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(sinα+cosα)^2+(sinα-cosα)^2= \\
=sin^2α+2sinαcosα+cos^2α+sin^2α-2sinαcosα+cos^2α= \\
=sin^2α+cos^2α+sin^2α+cos^2α+2sinαcosα-2sinαcosα= \\
=1+1=2$$

Udało się otrzymać wynik taki jak w treści zadania, zatem dowodzenie można uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pozbędziesz się potęg po lewej stronie równania.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

$$(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{42} \quad\bigg/^2 \\
\left((11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\right)^2=42$$

Teraz chyba najtrudniejsza część zadania, musimy poprawnie podnieść do kwadratu lewą stronę równania. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). W naszym przypadku \(a=(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\), natomiast \(b=(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\). To oznacza, że wykonując potęgowanie otrzymamy:
$$11-\sqrt{21}+2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}+11+\sqrt{21}=42 \\
22+2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=42 \\
2\cdot(11-\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}\cdot(11+\sqrt{21})^{\frac{1}{2}}=20 \\
2\cdot\sqrt{11-\sqrt{21}}\cdot\sqrt{11+\sqrt{21}}=20 \\
2\cdot\sqrt{(11-\sqrt{21})\cdot(11+\sqrt{21})}=20 \\
2\cdot\sqrt{121-21}=20 \\
2\cdot\sqrt{100}=20 \\
2\cdot10=20 \\
20=20 \\
L=P$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w postaci kanonicznej (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy podstawisz do postaci kanonicznej współrzędne punktu \(A\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wartość współczynnika \(a\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Ustalmy czym jest ta najmniejsza wartość, która jest wspomniana w treści zadania. Jest to tak naprawdę wierzchołek naszej paraboli. Skoro więc dla argumentu \(\frac{3}{2}\) funkcja przyjmuje wartość równą \(-1\), to parabola ma swój wierzchołek w punkcie \(W=\left(\frac{3}{2};1\right)\).

Krok 2. Zapisanie równania w postaci kanonicznej.
Skoro znamy współrzędne wierzchołka paraboli to możemy zapisać to równanie w postaci kanonicznej:
$$y=a\cdot(x-p)^2+q \\
y=a\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+(-1) \\
y=a\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1$$

Krok 3. Podstawienie współrzędnych punktu \(A\) i wyznaczenie współczynnika \(a\).
Do postaci kanonicznej z kroku drugiego możemy teraz podstawić współrzędne punktu \(A\), co pozwoli nam wyznaczyć współczynnik \(a\).
$$y=a\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1 \\
8=a\cdot\left(3-\frac{3}{2}\right)^2-1 \\
9=a\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2 \\
9=a\cdot\frac{9}{4} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9} \\
a=4$$

Krok 4. Przekształcenie równania do postaci ogólnej i wyznaczenie współczynników \(b\) oraz \(c\).
Po obliczeniu współczynnika \(a=4\) wiemy już, że postać kanoniczna tego trójmianu wygląda następująco:
$$y=4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1$$

Przekształćmy to teraz do postaci ogólnej:
$$y=4\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-1 \\
y=4\cdot\left(x^2-2\cdot x\cdot\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\right)-1 \\
y=4\cdot\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)-1 \\
y=4x^2-12x+9-1 \\
y=4x^2-12x+8$$

Z postaci ogólnej możemy odczytać, że \(b=-12\) oraz \(c=8\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia długości boków i zapiszesz jedną relację między tymi długościami np. \(x-5=y+2\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy ułożysz poprawny układ równań (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń i ułożenie układu równań.
\(x\) - długość pierwszego boku prostokąta
\(y\) - długość drugiego boku prostokąta

Skoro pole prostokąta jest równe \(228\), to:
$$x\cdot y=228$$

Z treści zadania wynika też, że:
$$x-5=y+2$$

To oznacza, że otrzymamy układ równań:
$$\begin{cases}
x\cdot y=228 \\
x-5=y+2
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie chyba rozwiązać ten układ metodą podstawiania, wyznaczając z pierwszego równania wartość igreka:
$$\begin{cases}
y=\frac{228}{x} \\
x-5=y+2
\end{cases}$$

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$x-5=\frac{228}{x}+2 \quad\bigg/\cdot x \\
x^2-5x=228+2x \\
x^2-7x-228=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które klasycznie obliczymy metodą delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-7,\;c=-228\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-228)=49-(-912)=961 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{961}=31$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-31}{2\cdot1}=\frac{7-31}{2}=\frac{-24}{2}=-12 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+31}{2\cdot1}=\frac{7+31}{2}=\frac{38}{2}=19$$

Ujemną wartość iksa musimy odrzucić, zatem zostaje nam \(x=19\).

Krok 4. Wyznaczenie długości boków prostokąta.
Wiemy już, że jeden z boków prostokąta ma długość \(x=19\). Drugą długość obliczymy korzystając z jednego z równań np.:
$$x\cdot y=228 \\
19y=228 \\
y=12$$

To oznacza, że prostokąt ma boki długości \(19\) oraz \(12\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy na którym pojawi się kąt prosty, oznaczenia \(r\), \(h\) oraz \(l\) i gdy dostrzeżesz, że podstawa trójkąta prostokątnego to tak naprawdę \(2r=l\sqrt{2}\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(r=\frac{l\sqrt{2}}{2}\) oraz \(h=\frac{l\sqrt{2}}{2}\) (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z którego da się obliczyć tworzącą stożka (patrz: Krok 2.), ale samo równanie rozwiążesz błędnie.
4 pkt
• Gdy otrzymasz, że \(l=6\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro w przekroju stożka mamy trójkąt prostokątny, to zajdzie taka oto sytuacja:



Ustalmy jeszcze skąd wzięły się takie, a nie inne oznaczenia i miary. Wiemy, że trójkąt jest prostokątny i że jest równoramienny (bo zawsze w przekroju stożka mamy trójkąt równoramienny o ramieniu długości \(l\)). Z własności trójkątów wynika, że każdy trójkąt prostokątny równoramienny jest trójkątem o kątach \(45°, 45°, 90°\). Dostrzeżenie tego faktu jest kluczem do całości zadania.

Skoro przyprostokątne trójkąta \(ABC\) są równe \(l\) to przeciwprostokątna (czyli w tym przypadku podstawa \(AB\) i jednocześnie średnica okręgu w podstawie) jest równa \(l\sqrt{2}\). Wiemy też średnica jest dwukrotnie większa od promienia, czyli \(r=\frac{l\sqrt{2}}{2}\).

Skąd natomiast wiadomo, że wysokość stożka jest równa \(h=\frac{l\sqrt{2}}{2}\)? Tutaj musimy spojrzeć chociażby na trójkąt \(DBC\). To także jest trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\), a jego przyprostokątnymi są właśnie promień okręgu i wysokość bryły. Te dwie długości zgodnie z własnościami takich trójkątów muszą być sobie równe, stąd też skoro \(r=\frac{l\sqrt{2}}{2}\), to także \(h=\frac{l\sqrt{2}}{2}\).

Krok 2. Obliczenie długości tworzącej stożka \(l\).
Podstawiając wszystkie dane do wzoru na objętość otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot h \\
V=\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h \\
18π\sqrt{2}=\frac{1}{3}\pi\cdot\left(\frac{l\sqrt{2}}{2}\right)^2\cdot\frac{l\sqrt{2}}{2} \\
18π\sqrt{2}=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{2l^2}{4}\cdot\frac{l\sqrt{2}}{2} \\
18\sqrt{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{l^2}{2}\cdot\frac{l\sqrt{2}}{2} \\
18\sqrt{2}=\frac{l^2\cdot l\sqrt{2}}{12} \\
216\sqrt{2}=l^3\sqrt{2} \\
l^3=216 \\
l=6$$

Krok 3. Obliczenie długości promienia oraz wysokości bryły.
Znając długość tworzącej stożka bardzo szybko możemy obliczyć także pozostałe kluczowe długości w tej bryle:
$$r=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2} \\
h=\frac{l\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Znamy już wszystkie niezbędne miary, zatem możemy przystąpić do obliczenia pola powierzchni całkowitej stożka:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=πr^2+πrl \\
P_{c}=π\cdot(3\sqrt{2})^2+π\cdot(3\sqrt{2})\cdot6 \\
P_{c}=π\cdot18+π\cdot18\sqrt{2} \\
P_{c}=18π+18\sqrt{2}π$$

Możemy (ale nie musimy) wyłączyć jeszcze przed nawias \(18π\), otrzymując:
$$P_{c}=18π(1+\sqrt{2}) \\
P_{c}=18π(\sqrt{2}+1)$$