Egzamin gimnazjalny - Matematyka - 2017

Poniżej znajduje się egzamin gimnazjalny z matematyki 2017. Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Egzamin gimnazjalny 2017 - matematyka

Egzamin zawiera 20 zadań zamkniętych oraz 3 zadania otwarte. Łącznie do zdobycia jest 29 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 90 minut.

W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.

Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.

Zadanie 1. (1pkt) Turysta $A$ szedł ze schroniska w kierunku szczytu, natomiast turysta $B$ schodził ze szczytu w kierunku schroniska. Obaj szli tym samym szlakiem i tego samego dnia. Wykresy przedstawiają, na jakiej wysokości względem poziomu morza znajdowali się turyści w określonym czasie.
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Turyści spotkali się na szlaku między godziną 13:00 a 14:00.

Turyści spotkali się w miejscu położonym między $1700$ a $2000m\;n.p.m$.

Zadanie 2. (1pkt) Paweł przejechał na rowerze trasę długości $700m$ w czasie $2 min$. Prędkość średnia, jaką uzyskał Paweł na tej trasie, jest równa:

$10,5\frac{km}{h}$

$14\frac{km}{h}$

$21\frac{km}{h}$

$35\frac{km}{h}$

Zadanie 3. (1pkt) Dane są cztery wyrażenia:
I. $\frac{3}{4}\cdot(-3)$
II. $\frac{3}{4}:(-3)$
III. $\frac{3}{4}+(-3)$
IV. $-\frac{3}{4}-3$
Największą wartość ma wyrażenie:

III

Zadanie 4. (1pkt) Zaokrąglenie ułamka okresowego $9,2(6)$ z dokładnością do $0,001$ jest równe:

$9,262$

$9,263$

$9,266$

$9,267$

Zadanie 5. (1pkt) Dana jest liczba dwucyfrowa. W tej liczbie cyfrą dziesiątek jest $a$, cyfrą jedności jest $b$ oraz spełnione są warunki: $b\gt a$ i $a+b=12$.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Warunki zadania spełnia siedem liczb.

Wszystkie liczby spełniające warunki zadania są podzielne przez $3$.

Zadanie 6. (1pkt) Oceń prawdziwość podanych zdań.

Liczba $7^{16}$ jest $7$ razy większa od liczby $7^{15}$

$(-1)^{12}+(-1)^{13}+(-1)^{14}+(-1)^{15}+(-1)^{16}=0$

Zadanie 7. (1pkt) Dane są trzy wyrażenia:
I. $(2\sqrt{3})^2$
II. $2\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2}$
III. $\frac{4\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$
Wartości których wyrażeń są mniejsze od $15$?

Tylko I i II

Tylko I i III

Tylko II i III

I, II i III

Zadanie 8. (1pkt) W pewnej szkole do egzaminu gimnazjalnego przystąpiło o $60$ chłopców więcej niż dziewcząt. Chłopcy stanowili $65\%$ liczby osób piszących egzamin. Ile dziewcząt przystąpiło do tego egzaminu?

$200$

$130$

$70$

$39$

$21$

Zadanie 9. (1pkt) Dane są dwie liczby $x$ i $y$. Wiadomo, że $x\ge8$ oraz $y\le-2$. Najmniejsza możliwa wartość różnicy $x-y$ jest równa:
egzamin ósmoklasisty

$10$

$6$

$-6$

$-10$

Zadanie 10. (1pkt) Na rysunku przedstawiono sposób ułożenia wzoru z jednakowych elementów i podano długości dwóch fragmentów tego wzoru.
egzamin ósmoklasisty

Fragment wzoru złożony z $3$ elementów ma długość:

$15cm$

$15,75cm$

$16,5cm$

$18cm$

Zadanie 11. (1pkt) Do dwóch koszy wrzucono piłki szare i czarne. Na diagramie przedstawiono liczbę piłek każdego koloru w I i w II koszu.
egzamin ósmoklasisty

Czy wylosowanie piłki czarnej z kosza II jest bardziej prawdopodobne niż wylosowanie piłki czarnej z kosza I?

Tak

Nie

ponieważ

w koszu II jest więcej piłek czarnych niż w koszu I

stosunek liczby piłek czarnych do liczby wszystkich piłek jest taki sam w obu koszach

w koszu II jest o $3$ piłki czarne więcej niż w koszu I, ale szarych - tylko o $2$ więcej

Zadanie 12. (1pkt) Uczniowie mieli wyznaczyć zmienną $r$ ze wzoru $F=G\cdot\frac{mM}{r^2}$. W tabeli przedstawiono rezultaty pracy kilkorga z nich.
egzamin ósmoklasisty

Kto z uczniów poprawnie wyznaczył zmienną $r$?

Agata

Bartek

Czarek

Dorota

Zadanie 13. (1pkt) Sprzedawca kupił do swojego sklepu $m$ kilogramów marchwi i $b$ kilogramów buraków: zapłacił po $1,50zł$ za kilogram marchwi i po $0,90zł$ za kilogram buraków. Warzywa te sprzedał za łączną kwotę $180$ złotych.
Które wyrażenie przedstawia różnicę kwoty uzyskanej za sprzedane warzywa i kosztu ich zakupu?

$m\cdot1,5+b\cdot0,9+180$

$m\cdot1,5-b\cdot0,9-180$

$180-(m\cdot1,5+b\cdot0,9)$

$180-(m\cdot1,5-b\cdot0,9)$

Zadanie 14. (1pkt) Dwie przecinające się proste utworzyły cztery kąty. Suma miar trzech z tych kątów jest równa $225°$.

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Suma miar kątów ostrych wyznaczonych przez te proste jest równa $90°$.

Jeden z dwóch kątów przyległych jest trzy razy większy od drugiego kąta.

Zadanie 15. (1pkt) Z kartki w kształcie kwadratu o boku $6$ odcięto ćwierć koła o promieniu $6$ (patrz rysunek).
egzamin ósmoklasisty

Pole powierzchni pozostałej zacieniowanej części kartki jest równe:

$144-12π$

$144-36π$

$36-3π$

$36-9π$

Zadanie 16. (1pkt) Z kwadratu odcięto trójkąty tak, że linie cięcia przeprowadzono przez środki boków tego kwadratu (rysunek I). Z odciętych trójkątów ułożono trójkąt $ABC$ (rysunek II).
egzamin ósmoklasisty

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Trójkąt $ABC$ jest prostokątny i równoramienny.

Pole trójkąta $ABC$ jest połową pola kwadratu.

Zadanie 17. (1pkt) W okręgu o środku $S$ zaznaczono kąt oparty na łuku $AB$. Przez punkt $B$ poprowadzono prostą $k$ styczną do okręgu.
egzamin ósmoklasisty

Zaznaczony na rysunku kąt $α$ zawarty między styczną $k$ i cięciwą $AB$ ma miarę:

$21°$

$42°$

$48°$

$69°$

Zadanie 18. (1pkt) Prostokąt o wymiarach $3\sqrt{3}cm$ i $5\sqrt{3}cm$ podzielono na $15$ jednakowych kwadratów. Pole jednego kwadratu jest równe:

$1cm^2$

$\sqrt{3}cm^2$

$\sqrt{45}cm^2$

$3cm^2$

Zadanie 19. (1pkt) Do akwarium w kształcie prostopadłościanu o wymiarach $90cm$, $40cm$, $50cm$ wlano $40$ litrów wody.
Ile litrów wody należy jeszcze dolać do akwarium, aby sięgała ona do połowy jego wysokości?

$50$

$70$

$90$

$140$

Zadanie 20. (1pkt) Jacek z $14$ jednakowych sześciennych kostek skleił figurę, której widok z przodu i z tyłu przedstawiono na rysunkach.
egzamin ósmoklasisty

Całą figurę, również od spodu, Jacek pomalował. Ile sześciennych kostek ma pomalowane dokładnie $4$ ściany?

$8$

$7$

$6$

$5$

Zadanie 21. (2pkt) Zapisano trzy różne liczby, których średnia arytmetyczna jest równa $4$, oraz dwie inne liczby, których średnia arytmetyczna jest równa $2$. Uzasadnij, że średnia arytmetyczna zestawu tych pięciu liczb jest równa $3,2$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy przeprowadzisz dowodzenie na podstawionych przez siebie liczbach.
1 pkt
• Gdy obliczysz łączną wartość trzech pierwszych liczb (Krok 1.) oraz łączną wartość dwóch pozostałych liczb (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie łącznej wartości trzech pierwszych liczb.
O trzech pierwszych liczbach wiemy, że ich średnia arytmetyczna jest równa $4$. Skoro tak, to łączna wartość tych trzech liczb jest równa:
$$4\cdot3=12$$

Krok 2. Obliczenie łącznej wartości dwóch pozostałych liczb.
O parze kolejnych liczb wiemy, że ich średnia arytmetyczna jest równa $2$. Czyli łączna wartość tych trzech liczb będzie równa:
$$2\cdot2=4$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Suma tych pięciu cyfr jest zatem równa $12+4=16$. Średnia arytmetyczna pięciu cyfr których suma jest równa $16$ wynosi $\frac{16}{5}=3,2$, co kończy nasze dowodzenie.

Zadanie 22. (3pkt) Do przewiezienia $27$ ton żwiru potrzeba $5$ małych i $2$ dużych ciężarówek albo $3$ małych i $3$ dużych ciężarówek (przy wykorzystaniu całkowitej ich ładowności). Ile co najmniej kursów musi wykonać jedna duża ciężarówka, aby przewieźć $27$ ton żwiru?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie dwa równania wchodzące w skład układ równań (Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że ładowność dużej ciężarówki jest dwukrotnie większa od ładowności małej ciężarówki.
2 pkt
• Gdy obliczysz ładowność małej lub dużej ciężarówki (Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę potrzebnych kursów, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy lub gdy zapiszesz, że potrzeba wykonać $4,5$ kursu.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
$m$ - mała ciężarówka
$d$ - duża ciężarówka

Z treści zadania wiemy, że:
$$5m+2d=27 \\
3m+3d=27$$

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Powstały nam dwa równania z których możemy stworzyć prosty układ równań. Rozwiązując ten układ dowiemy jaka jest pojemność dużej ciężarówki (możemy też obliczyć jaka jest pojemność małej, ale to nam się nie przyda) i dzięki temu będziemy wiedzieć ile kursów trzeba będzie wykonać. Układ możemy rozwiązać w wygodny dla siebie sposób, np. metodą podstawiania:
\begin{cases}
5m+2d=27 \quad\bigg/\cdot3 \\
3m+3d=27 \quad\bigg/\cdot5 \\
\end{cases}

\begin{cases}
15m+6d=81 \\
15m+15d=135 \\
\end{cases}

\begin{cases}
15m=81-6d \\
15m+15d=135
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$81-6d+15d=135 \\
9d=54 \\
d=6$$

Krok 3. Obliczenie liczby potrzebnych kursów.
Duża ciężarówka może przewieźć $6$ ton, my potrzebujemy przewieźć $27$ ton. To oznacza, że liczba kursów które musimy wykonać wynosi:
$$27:6=4,5$$

Teraz dobrze musimy zinterpretować nasz wynik. Nie da się zrobić $4,5$ kursu. Taki wynik oznacza, że musimy zrobić $5$ kursów ciężarówką i to jest dopiero poprawna odpowiedź.

Zadanie 23. (4pkt) Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego i jego siatkę. Dwie dłuższe krawędzie podstawy graniastosłupa mają $12cm$ i $13cm$ długości, a pole zacieniowanej części siatki graniastosłupa jest równe $168cm^2$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
egzamin ósmoklasisty
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość brakującego boku trójkąta, będącego krawędzią podstawy graniastosłupa (Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz objętość graniastosłupa, ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy nanieść znane nam miary długości na nasz rysunek. Nanieśmy też sobie od razu informację gdzie w tej siatce znajduje się wysokość graniastosłupa, bo ona będzie nam potrzebna do obliczenia objętości.
egzamin ósmoklasisty

Skrzydełka na górze i na dole siatki są trójkątami prostokątnymi, który znajduje się w podstawie. Skąd jednak wiemy, że boki o długości $12cm$ oraz $13cm$ są podpisane dobrze, a nie np. w odwrotnej kolejności? Faktycznie nie jest to zapisane wprost który bok ma jaką długość, ale my wiemy, że długości $12cm$ oraz $13cm$ to najdłuższe boki trójkąta prostokątnego. W trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest zawsze przeciwprostokątna, stąd wiemy, że to ona ma konkretnie $13cm$.

Krok 2. Obliczenie długości trzeciego boku trójkąta znajdującego się w podstawie.
Z treści zadania wiemy, że dwa boki trójkąta znajdującego się w podstawie mają długość $12cm$ oraz $13cm$. Możemy więc z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć trzecią długość:
$$x^2+12^2=13^2 \\
x^2+144=169 \\
x^2=25 \\
x=5[cm]$$

To oznacza, że krótsza przyprostokątna (czyli najkrótsza krawędź podstawy graniastosłupa) ma długość $5cm$.

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia wysokości graniastosłupa. Jak ją wyznaczymy? Skorzystamy tutaj z tego iż zacieniowaną figurą jest trapez o polu powierzchni równym $168cm^2$. Dolna podstawa trapezu zgodnie z rysunkiem ma długość $5+h+5=10+h$, natomiast górna podstawa ma długość $h$. Wysokość trapezu jest równa $12cm$. To oznacza, że $h$ jest już jedyną niewiadomą, zatem wyznaczymy ją w prosty sposób:
$$168=\frac{1}{2}(10+h+h)\cdot12 \\
168=(2h+10)\cdot6 \\
168=12h+60 \\
108=12h \\
h=9[cm]$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy trójkąt prostokątny o podstawie $12cm$ i wysokości $5cm$. Pole podstawy będzie więc równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\
P_{p}=6\cdot5 \\
P_{p}=30[cm^2]$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy już wszystkie dane. Pole podstawy jest równe $30cm^2$, wysokość bryły wynosi $9cm$, zatem objętość wynosi:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=30cm^2\cdot9cm \\
V=270cm^3$$

Zdobyłeś/aś: 0/29pkt

Zobacz swój test

Popraw test

Zobacz także odpowiedzi oraz arkusz PDF:

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 – Odpowiedzi

Egzamin gimnazjalny z matematyki 2017 – PDF

Podaj swój nick lub imię*

E-mail

5 komentarzy

Inline Feedbacks

View all comments

kozz

Wielkie dzieki

Odpowiedz

jhbhb

sztoss

Anonim

piękne dzięki

Mareek

Według mnie zadanie nr 22 da rozwiązać się prostszym sposobem zajmującym mniej czasu niż ten pokazany :) Mianowicie : -Można ułożyć równanie 5m+2d=3m+3d | m-mała ciężarówka d- duża ciężarówka Po rozwiązaniu równania : 2m=1d , czyli dwie małe ciężarówki mają taką samą ładowność jak jedna duża. Następnie -> Przyjmijmy pierwszą wersję. 5 małych i dwie duże przewiozą 30 ton żwiru razem. Jeśli 5 małych = 2,5 dużej to 2 duże + 2,5 dużej = 4,5 dużej. Pytają nas ile co najmniej kursów musi wykonać duża ciężarówka żeby przewieść te 30 ton żwiru więc musi wykonać 5 kursów ;) Super arkusz… Czytaj więcej »

SzaloneLiczby

Autor

Reply to Mareek

I pięknie, ważne by sposób prowadził do sukcesu :D