Wyjaśnienie:
Krok 1. Zbudowanie układu równań.
Z poprzedniego punktu wiemy, że nasz okrąg wyraża się równaniem \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}\). Naszym zadaniem jest poznanie współrzędnych punktu, który tak naprawdę jest punktem wspólnym okręgu i prostej \(k\), a więc pomocny będzie układ równań:
\begin{cases}
(x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5} \\
y=2x-11
\end{cases}
Podstawiając drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$(x-3)^2+(2x-11+4)^2=\frac{1}{5} \\
(x-3)^2+(2x-7)^2=\frac{1}{5} \\
x^2-6x+9+4x^2-28x+49=\frac{1}{5} \\
5x^2-34x+58=\frac{1}{5} \\
5x^2-34x+\frac{290}{5}=\frac{1}{5} \\
5x^2-34x+\frac{289}{5}=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Z pomocą przyjdzie nam oczywiście delta:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-34,\;c=\frac{289}{5}\)
$$Δ=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot5\cdot\frac{289}{5}=1156-1156=0$$
$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-34)}{2\cdot5}=\frac{34}{10}=3\frac{2}{5}$$
Krok 3. Zapisanie współrzędnych punktu \(P\).
Wiemy już, że współrzędna \(x=3\frac{2}{5}\). Potrzebujemy jeszcze współrzędnej \(y\), a obliczymy ją, podstawiając \(x=3\frac{2}{5}\) do jednego z równań z układu (np. równania \(y=2x-11\)), zatem:
$$y=2x-11 \\
y=2\cdot3\frac{2}{5}-11 \\
y=-4\frac{1}{5}$$
To oznacza, że \(P=\left(3\frac{2}{5};-4\frac{1}{5}\right)\).
Porządnie wyjaśnione. Dziękuję!