Rozwiązanie
Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że liny użyjemy na długości dwóch boków \(a\) oraz jednego boku \(b\), więc możemy zapisać, że:
$$2a+b=200$$
Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni kąpieliska w kształcie prostokąta obliczymy ze wzoru:
$$P=a\cdot b$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(a\). Chcąc tego dokonać, wyznaczmy wartość \(b\) z równania \(2a+b=200\), czyli:
$$2a+b=200 \\
b=200-2a$$
Podstawiając teraz \(b=200-2a\) do równania \(P=a\cdot b\), otrzymamy:
$$P=a\cdot(200-2a) \\
P=200a-2a^2 \\
P=-2a^2+200a$$
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni kąpieliska można opisać wzorem \(-2a^2+200a\). I teraz następuje kluczowy moment w tego typu zadaniach - musimy całość potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(a\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(a)=-2a^2+200a\).
Dobrą praktyką jest ustalenie przy tej okazji dziedziny funkcji. Długości boków muszą być większe od zera, zatem \(a\gt0\), oraz \(b\gt0\). Bok \(b\) rozpisaliśmy jako \(200-2a\), czyli tym samym \(200-2a\gt0), co po przekształceniu tej nierówności da nam \(a\lt100\). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(a\in(0;100)\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). To sprawia, że nasza funkcja będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:
Celem zadania jest dowiedzenie się, dla jakiego \(a\) pole powierzchni \(P\) będzie największe. Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że ta największa wartość będzie osiągnięta w wierzchołku. Musimy zatem obliczyć dla jakiej długości \(a\) ta największa wartość jest przyjmowana. W tym celu skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$
Do tego wzoru podstawiamy współczynniki \(a\) oraz \(b\) naszej funkcji kwadratowej (nie mylmy tego z bokami \(a\) oraz \(b\), to jedynie zbieżność symboli). W przypadku funkcji \(P(a)=-2a^2+200a\) widzimy, że współczynnik \(a=-2\) oraz \(b=200\), zatem:
$$x_{W}=\frac{-200}{2\cdot(-2)} \\
x_{W}=\frac{-200}{-4} \\
x_{W}=50$$
To oznacza, że największe pole powierzchni osiągniemy, gdy długość boku \(a\) będzie równa \(50\) (tu warto też zwrócić uwagę, że otrzymany wynik jest zgodny z zapisaną wcześniej dziedziną funkcji).
Krok 4. Obliczenie długości boku \(b\)
Celem zadania jest podanie wszystkich wymiarów naszego kąpieliska, zatem obliczmy jeszcze długość boku \(b\). W tym celu wystarczy do równania \(b=200-2a\) podstawić obliczone przed chwilą \(a=50\), zatem:
$$b=200-2\cdot50 \\
b=200-100 \\
b=100$$
To oznacza, że kąpielisko będzie mieć największe pole gdy \(a=50\) oraz \(b=100\).
