Funkcję kwadratową możemy zapisać w różnych postaciach z czego najpopularniejszymi są postać ogólna, iloczynowa oraz kanoniczna. Sprawdźmy jak wygląda każda z nich i jakie informacje niesie ze sobą każdy z takich zapisów.
Postać ogólna funkcji kwadratowej
$$y=ax^2+bx+c$$
Wartości \(a,b,c\) to tak zwane współczynniki funkcji kwadratowej, które są konkretnymi liczbami rzeczywistymi. Z tych trzech współczynników najważniejszym jest współczynnik \(a\) (zwany współczynnikiem kierunkowym), bo to on decyduje o tym, czy ramiona paraboli są skierowane do góry, czy do dołu.
Wzory funkcji kwadratowej w postaci ogólnej mogą wyglądać następująco:
\(y=2x^2+3x+5 (a=2, b=3, c=5) \\
y=x^2-x-1 (a=1, b=-1, c=-1) \\
y=-x^2+5x-6 (a=-1, b=5, c=-6) \\
y=2x^2+5 (a=2, b=0, c=5) \\
y=x^2+6x (a=1, b=6, c=0)\)
Zwróćmy szczególną na te dwa ostatnie przypadki, gdzie współczynniki \(b\) lub \(c\) są równe zero. To także są funkcje kwadratowe zapisane w postaci ogólnej.
Jakie korzyści daje nam postać ogólna?
1. Możemy od razu odczytać z niej kierunek ułożenia ramion paraboli. Gdy \(a\gt0\) to ramiona są skierowane do góry, gdy \(a\lt0\) to ramiona paraboli są skierowane do dołu.
2. Możemy odczytać miejsce przecięcia się paraboli z osią igreków, a decyduje o tym współczynnik \(c\). Jeżeli przykładowo \(c=5\), to funkcja przetnie oś igreków dla \(y=5\), czyli w punkcie \(P=(0;5)\).
3. Możemy obliczyć miejsca zerowe korzystając z delty. Nie jest to może najszybsza metoda, ale za to bardzo uniwersalna. Aby wyznaczyć miejsca zerowe najpierw obliczamy deltę korzystając ze wzoru \(Δ=b^2-4ac\).
• Gdy delta jest większa od zera to obliczamy z niej pierwiastek, a miejsca zerowe obliczymy korzystając ze wzorów \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}\) oraz \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}\).
• Gdy delta jest równa zero, to mamy tylko jedno miejsce zerowe, które obliczymy ze wzoru \(x=\frac{-b}{2a}\).
• Gdy delta wyjdzie ujemna, to funkcja nie ma miejsc zerowych.
4. Możemy obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\), korzystając ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\).
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$
W tym wzorze \(a\) jest współczynnikiem kierunkowym, natomiast \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) to miejsca zerowe funkcji.
Przykładowymi wzorami w postaci iloczynowej będą:
$$y=(x-3)(x-4) \\
y=(x+\sqrt{2})(x+5) \\
y=3(x-1)(x+3) \\
y=-(x+2)(x-9)$$
Jakie korzyści daje nam postać iloczynowa?
1. Możemy z niej bardzo szybko obliczyć miejsca zerowe, wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera.
2. Możemy z niej odczytać kierunek ułożenia ramion (gdy \(a\gt0\) to ramiona są skierowane do góry, gdy \(a\lt0\) to ramiona paraboli są skierowane do dołu), aczkolwiek trzeba być przy tym bardzo ostrożnym. Czasem w zadaniach spotkamy z modyfikacją postaci iloczynowej i będziemy mieć np. sytuację typu \(y=-3(2x-5)(5-x)\). To taka idealna postać iloczynowa nie jest, bo nie mamy w nawiasach postaci \(x-x_{1}(x-x_{2})\). Da się z takiego wzoru wyliczyć miejsca zerowe przyrównując wartości w nawiasach do zera, ale chcąc dowiedzieć jaki jest współczynnik kierunkowy \(a\) powinniśmy po prostu wymnożyć te nawiasy przez siebie i odczytać współczynnik kierunkowy z postaci ogólnej która nam powstanie.
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
$$y=a(x-p)^2+q$$
Tutaj \(a\) jest ponownie współczynnikiem kierunkowym, natomiast \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\).
Przykładowymi wzorami w postaci kanonicznej będą:
$$y=(x-3)^2+5 \\
y=(x+4)^2+-6 \\
y=2(x-6)^2-1 \\
y=-(x+\sqrt{2})^2 \\
y=(x+4)^2$$
Zwróć szczególną uwagę na ostatni przykład. To także jest postać kanoniczna, tyle że tutaj \(q=0\).
Jakie korzyści daje nam postać kanoniczna?
1. Możemy z niej odczytać współrzędne wierzchołka paraboli. Trzeba tutaj jednak uważać na znaki, które stoją przed \(p\) oraz \(q\), zwłaszcza że przed \(p\) mamy w postaci kanonicznej minus. To oznacza, że przykładowo w funkcji \(y=(x-3)^2+5\) Współrzędne wierzchołka paraboli to \(W=(3;5)\), ale już w funkcji \(y=(x+3)^2+5\) (którą możemy zapisać jako \(y=(x-(-3)+5)\) to będzie \(W=(-3;5)\).
2. Możemy z niej odczytać kierunek ułożenia ramion (gdy \(a\gt0\) to ramiona są skierowane do góry, gdy \(a\lt0\) to ramiona paraboli są skierowane do dołu).
Poszczególne zapisy funkcji kwadratowej możemy dowolnie przekształcać, przechodząc tym samym na inną potrzebną nam postać.
Zamiana postaci iloczynowej lub kanonicznej na ogólną
Aby zamienić postać iloczynową lub kanoniczną na postać ogólną musimy po prostu wymnożyć poszczególne wartości i uprościć całe wyrażenie. Spójrzmy na przykłady:
Wymnażając i upraszczając zapis otrzymamy:
$$y=(x+5)(x-3) \\
y=x^2-3x+5x-15 \\
y=x^2+2x-15$$
Wykonując potęgowanie z użyciem wzorów skróconego mnożenia otrzymamy:
$$y=(x+1)^2-16 \\
y=x^2+2x+1-16 \\
y=x^2+2x-15$$
Zamiana postaci ogólnej lub kanonicznej na iloczynową
Zamiana na postać iloczynową jest nieco trudniejsza, bo tutaj musimy poznać miejsca zerowe.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy wcześniej, musimy obliczyć miejsca zerowe, a zrobimy to korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-15\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+8}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$
Teraz musimy podstawić to do wzoru na postać iloczynową:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
y=1\left(x-(-5)\right)(x-3) \\
y=1(x+5)(x-3) \\
y=(x+5)(x-3)$$
Aby dokonać tej zamiany musimy jakoś wyznaczyć miejsca zerowe, a żeby to zrobić musimy najpierw wykonać potęgowanie i doprowadzić do postaci ogólnej z której wyliczymy metodą delty miejsca zerowe.
$$y=(x+1)^2-16 \\
y=x^2+2x+1-16 \\
y=x^2+2x-15$$
Teraz postępując analogicznie jak w przykładzie 3. otrzymamy:
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-15\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+8}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$
Teraz musimy podstawić to do wzoru na postać iloczynową:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
y=1\left(x-(-5)\right)(x-3) \\
y=1(x+5)(x-3) \\
y=(x+5)(x-3)$$
Zamiana postaci ogólnej lub iloczynowej na kanoniczną
Aby przekształcić funkcję do postaci kanonicznej musimy obliczyć współrzędne wierzchołka.
Wierzchołek paraboli \(W=(p;q)\) obliczymy korzystając ze wzorów \(p=\frac{-b}{2a}\) oraz \(q=\frac{-Δ}{4a}\). W związku z tym:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-2}{2\cdot1} \\
p=\frac{-2}{2} \\
p=-1$$
Do obliczenia wierzchołka \(q\) potrzebna nam będzie delta:
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64$$
$$q=\frac{-Δ}{4a} \\
q=\frac{-64}{4\cdot1} \\
q=\frac{-64}{4} \\
q=-16$$
W związku z tym postać kanoniczna będzie wyglądać następująco:
$$y=a(x-p)^2+q \\
y=1\left(x-(-1)\right)^2+(-16) \\
y=1(x+1)^2-16 \\
y=(x+1)^2-16$$
Najpierw musimy doprowadzić do postaci ogólnej, tak aby móc wyznaczyć współrzędne wierzchołka.
$$y=(x+5)(x-3) \\
y=x^2-3x+5x-15 \\
y=x^2+2x-15$$
Teraz postępując analogicznie jak w przykładzie 5. otrzymamy:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-2}{2\cdot1} \\
p=\frac{-2}{2} \\
p=-1$$
Do obliczenia wierzchołka \(q\) potrzebna nam będzie delta:
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4-(-60)=4+60=64$$
$$q=\frac{-Δ}{4a} \\
q=\frac{-64}{4\cdot1} \\
q=\frac{-64}{4} \\
q=-16$$
W związku z tym postać kanoniczna będzie wyglądać następująco:
$$y=a(x-p)^2+q \\
y=1\left(x-(-1)\right)^2+(-16) \\
y=1(x+1)^2-16 \\
y=(x+1)^2-16$$