Wielkości wprost proporcjonalne

Mówimy, że wielkości są wprost proporcjonalne wtedy, gdy wraz ze wzrostem jednej wielkości, druga wielkość rośnie tyle samo razy. Aby lepiej to sobie wyobrazić, spójrzmy na proste poniższe przykłady.

Przykłady wartości wprost proporcjonalnych
· $1kg$ jabłek kosztuje $3zł$. Jeżeli więc chcemy kupić $5kg$ jabłek (czyli pięć razy więcej), to zapłacimy $15zł$ (czyli też pięć razy więcej).
· Z $500g$ mąki można zrobić $20$ pączków. Jeżeli więc mamy $1kg$ mąki (czyli dwa razy więcej), to moglibyśmy zrobić $40$ pączków (czyli też dwa razy więcej).
· Jedna tabliczka czekolady o wadze $100g$ ma $500kcal$. Jeżeli więc zjemy połowę tej tabliczki (czyli dwa razy mniej), to dostarczymy do organizmu $250kcal$ (czyli też dwa razy mniej).

W każdym z tych przykładów mamy właśnie wielkości wprost proporcjonalne – im więcej (lub im mniej) jabłek, mąki czy też czekolady, tym więcej (lub tym mniej) otrzymamy powiązanych z nimi różnych wartości.

Zapisywanie proporcji i równań
Przeanalizujmy jedną z omawianych we wstępie sytuacji. Mamy przepis na pączki, zgodnie z którym z $500g$ mąki można zrobić $20$ pączków. Załóżmy teraz, że nie chcemy zrobić $20$ pączków, tylko $12$ – ile zatem potrzebujemy mąki? Temat proporcji jest na tyle wdzięczny, że istnieje kilka dróg na dojście do odpowiedzi na to pytanie. Pokażmy sobie zatem te najpopularniejsze podejścia i spróbujmy ustalić ile potrzeba mąki na $12$ pączków.

I sposób – zapisanie samego równania
Jeżeli mamy sporą wprawę w zapisywaniu równań, to bazując na informacjach z treści zadania, moglibyśmy zapisać następujące równanie:
$$\frac{500}{20}=\frac{x}{12}$$

Chcąc rozwiązać to równanie, możemy zastosować tak zwane „mnożenie na krzyż”, a całość obliczeń wyglądałaby wtedy następująco:
$$500\cdot12=20\cdot x \\
6000=20x \\
x=300$$

II sposób – zapisanie proporcji słownie, a potem w postaci równania
Często zapisywanie takich równań może sprawiać problemy, zwłaszcza jeśli sytuacja opisana w treści zadania jest bardziej skomplikowana. W takim wypadku można wspomóc się słownym zapisem proporcji. Relację z treści zadania możemy rozpisać w dwóch liniach tekstu:
$500g$ mąki $\quad\Rightarrow\quad$ $20$ pączków
$x$ mąki $\quad\Rightarrow\quad$ $12$ pączków

Skoro są to wielkości wprost proporcjonalne, to liczby zapisane w takiej rozpisce musimy pomnożyć na krzyż – to właśnie bardzo charakterystyczna cecha wielkości wprost proporcjonalnych. Dzięki temu otrzymamy takie oto równanie:
$$500\cdot12=x\cdot20 \\
6000=20x \\
x=300$$

III sposób – zapisanie proporcji jedynie słownie
Do prawidłowej odpowiedzi możemy też dojść bez zapisywania równań. W temacie proporcji bardzo często będziemy stosować zapisy słowne, które wyglądałyby mniej więcej w ten oto sposób:
Skoro na $20$ pączków potrzeba $500g$ mąki
To na $1$ pączek potrzeba $25g$ mąki
Więc na $12$ pączków potrzeba $300g$ mąki

I od razu wyjaśnijmy sobie każdą linijkę takiego zapisu. W pierwszej linijce zapisaliśmy proporcję podaną w treści zadania. W drugiej linijce policzyliśmy sobie, że gdy tych pączków jest $20$ razy mniej, to możemy użyć $20$ razy mniej mąki. I tym samym skoro mamy mieć $12$ pączków, czyli $12$ razy więcej niż $1$, to musimy użyć $12\cdot25g$ mąki, czyli właśnie $300g$. Mówiąc jeszcze bardziej obrazowo – liczby z pierwszej linijki dzielimy przez $20$, otrzymujemy w ten sposób drugą linijkę, a liczby z drugiej linijki mnożymy przez $12$, otrzymując odpowiedź do zadania.

Przy okazji mała podpowiedź. Jak już nabierzemy wprawy, to zorientujemy się, że w drugiej linijce nie trzeba zawsze schodzić do pojedynczych sztuk (w tym przypadku do jednego pączka). Możemy do tego podchodzić bardzo elastycznie i całość moglibyśmy rozpisać np. w ten sposób:
Skoro na $20$ pączków potrzeba $500g$ mąki
To na $4$ pączki potrzeba $100g$ mąki
Więc na $12$ pączków potrzeba $300g$ mąki

Jak więc widać, istnieje kilka dróg do rozwiązywania zadań, w których główną rolę odgrywają wielkości wprost proporcjonalne. Spójrzmy teraz na przykładowe zadania, w których wykorzystamy zdobytą przed chwilą wiedzę.

Przykład 1. Samochód spala $6l$ benzyny na każde $100km$ jazdy. Ile benzyny spali auto na trasie $450km$?

Rozwiązanie:
Gdybyśmy chcieli rozwiązać to zadanie za pomocą równania, to moglibyśmy zapisać następującą proporcję:
$$\frac{6}{100}=\frac{x}{450}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$6\cdot450=100x \\
2700=100x \\
x=27$$

To oznacza, że auto spali $27$ litrów benzyny.

Możemy też oczywiście zapisać całą proporcję np. w taki oto sposób:
Skoro na $100km$ jazdy potrzeba $6l$ benzyny
To na $50km$ jazdy potrzeba $3l$ benzyny
Więc na $450km$ jazdy potrzeba $27l$ benzyny

Przykład 2. W cukiernictwie przyjmuje się, że duża łyżka to miara odpowiadająca wadze $12,5g$ cukru. Ile łyżek cukru odpowiada wadze $1kg$ cukru?

Rozwiązanie:
Pamiętaj, że $1kg$ to $1000g$. Bazując na treści zadania moglibyśmy zapisać, że:
$$\frac{12,5}{1}=\frac{1000}{x} \\
12,5=\frac{1000}{x} \\
12,5x=1000 \\
x=80$$

W takim razie $1kg$ to $80$ łyżek cukru.

Zobacz także inne tematy związane z proporcjami:

Proporcje – Sprawdzian – Klasa 8 (8 zadań)

Proporcje

Wielkości odwrotnie proporcjonalne