Próbny egzamin ósmoklasisty – Matematyka – Operon 2018

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie rozłożysz liczbę na czynniki pierwsze, ale nie zsumujesz tych czynników.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Rozkład liczby na czynniki pierwsze.
Rozkładając liczbę na czynniki pierwsze należy pamiętać o tym, by korzystać jedynie z liczb pierwszych (czyli takich, które dzielą się tylko przez jedynkę oraz samą siebie). My z treści zadania wiemy, że jednym z takich czynników jest liczba \(17\), dlatego od tej liczby możemy rozpocząć nasz rozkład:
$$
\begin{array}{c|c}
9350 & 17 \\
550 & 5 \\
110 & 11 \\
10 & 5 \\
2 & 2 \\
1 & \;
\end{array}
$$

Krok 2. Obliczenie sumy czynników pierwszych.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze obliczyć sumę czynników pierwszych, zatem:
$$17+5+11+5+2=40$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz drugą długość prostokąta (patrz: Krok 2.), ale nie zapiszesz, że otrzymana miara jest równa długości pierwszego boku i dlatego jest to kwadrat (np. nie zauważysz, że \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)).
ALBO
• Gdy skorzystasz z własności przekątnych kwadratów, ale nie zapiszesz końcowego wniosku.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

I sposób: Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Obliczenie szerokości prostokąta.
Jeżeli uda nam się udowodnić, że bok o nieznanej nam długości \(b\) ma taką samą miarę co bok o długości \(a=4\sqrt{2}\), to będziemy mogli z całą pewnością stwierdzić, że ten prostokąt jest kwadratem. W tym celu skorzystamy po prostu z Twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
(4\sqrt{2})^2+b^2=8^2 \\
16\cdot2+b^2=64 \\
32+b^2=64 \\
b^2=32 \\
b=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Udało nam się wykazać, że boki oznaczone jako \(a\) oraz \(b\) mają identyczną miarę, zatem ten prostokąt jest kwadratem.

II sposób: Korzystając z własności przekątnych kwadratu.
Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Jeżeli więc pokażemy, że w przypadku tego prostokąta zachodzi taka zależność, to będziemy mogli stwierdzić, że faktycznie jest on kwadratem.

W związku z tym skoro \(a=4\sqrt{2}\) to przekątna kwadratu powinna mieć długość:
$$a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4\cdot2=8$$

Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak długość przekątnej podanej w treści zadania, zatem możemy z całą pewnością stwierdzić, iż ten prostokąt jest kwadratem.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymany wynik jest błędny ze względu na zły znak.
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(\frac{2ms}{t^2}=F-T\) i dalej popełnisz błąd.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Przekształcanie wzoru najprościej jest zacząć od pozbycia się wartości \(2m\) znajdującej się w mianowniku ułamka:
$$s=\frac{F-T}{2m}\cdot t^2 \quad\bigg/\cdot2m \\
s\cdot2m=(F-T)\cdot t^2 \quad\bigg/:t^2 \\
\frac{2ms}{t^2}=F-T \quad\bigg/+T \\
T+\frac{2ms}{t^2}=F \quad\bigg/-\frac{2ms}{t^2} \\
T=F-\frac{2ms}{t^2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz objętość wszystkich kości (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymany wynik będzie zły ze względu na jakiś błąd rachunkowy (np. zgubisz jedno zero albo źle obliczysz coś pisemnie).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie pojemności pojedynczej kostki.
Każda kostka jest sześcianem o krawędzi długości \(a=1,5cm\). Możemy więc bez przeszkód obliczyć objętość tego sześcianu, ale zanim to zrobimy, to możemy zrobić jeszcze jedną sprytną rzecz, która znacznie uprości nam obliczenia. Widzimy wyraźnie, że w zadaniu będziemy operować jednostką litrów, a wiemy że \(1l=1dm^3\). Zamieńmy więc długość kostki na decymetry, tak aby potem nie mieć problemu z przekształcaniem jednostek objętości.
$$a=1,5cm=0,15dm$$

Teraz możemy przystąpić do obliczenia objętości pojedynczej kostki:
$$V=a^3 \\
V=(0,15dm)^3 \\
V=0,003375dm^3$$

Krok 2. Obliczenie objętości wszystkich kostek do gry.
Skoro Wojtek ma \(24\) kostki do gry, to ich objętość będzie równa:
$$V=24\cdot0,003375dm^3 \\
V=0,081dm^3$$

Krok 3. Obliczenie procentu wypełnienia pudełka.
Skoro pudełko ma objętość \(0,6l\), czyli \(0,6dm^3\), a kostki zajmują \(0,081dm^3\) to:
$$\frac{0,081dm^3}{0,6dm^3}\cdot100\%=\frac{81}{6}\%=13,5\%$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia i ułożysz równanie wynikające z treści zadania (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymany wynik będzie zły ze względu na jakiś błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy obliczysz poprawnie kwotę oszczędności Kasi lub Basi (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
W tym zadaniu musimy koniecznie wprowadzić sobie pewne oznaczenia, zapisując przy okazji zależności wynikające z treści zadania:
\(x\) - oszczędności Kasi przed otrzymaniem pieniędzy od dziadków
\(1,15x\) - oszczędności Basi przed otrzymaniem pieniędzy od dziadków
\(x+232\) - oszczędności Kasi po otrzymaniu pieniędzy od dziadków
\(1,15x+232\) - oszczędności Basi po otrzymaniu pieniędzy od dziadków

Z treści zadania wynika, że:
$$x+232=0,92\cdot(1,15x+232)$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Rozwiązywanie powstałego równania zaczniemy od wymnożenia liczby znajdującej się przed nawiasem:
$$x+232=0,92\cdot(1,15x+232) \\
x+232=1,058x+213,44 \quad\bigg/-213,44 \\
x+18,56=1,058x \quad\bigg/-x \\
18,56=0,058x \quad\bigg/:0,058 \\
x=320[zł]$$

Krok 3. Obliczenie kwoty uzbieranych pieniędzy przez Kasię oraz Basię.
Obliczenie wartości \(x=320zł\) nie kończy naszego zadania. Musimy obliczyć ile pieniędzy ostatecznie zebrała każda z dziewczyn. W tym celu wracamy do naszych oznaczeń z kroku pierwszego i możemy zapisać, że:
Oszczędności Kasi: \(320zł+232zł=552zł\)
Oszczędności Basi: \(1,15\cdot320zł+232zł=368zł+232zł=600zł\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przedstawisz poprawny sposób obliczenia pola podstawy pierwszego lub drugiego graniastosłupa (patrz: Krok 4.).
2 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz pola podstaw pierwszego i drugiego graniastosłupa (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz pole powierzchni bocznej nowo powstałego graniastosłupa (patrz: Krok 5.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymany wynik jest niepoprawny tylko i wyłącznie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi pierwszego graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że krawędzie pierwszego graniastosłupa są przystające, czyli mają jednakową miarę. Nasz graniastosłup ma \(9\) krawędzi, a skoro suma ich długości jest równa \(90cm\), to każda krawędź na długość:
$$a=90cm:9 \\
a=10cm$$

Krok 2. Obliczenie długości nieznanej krawędzi podstawy drugiego graniastosłupa.
O drugim graniastosłupie wiemy to, że w podstawie jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(6cm\) oraz \(8cm\). Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej (czyli trzeciej krawędzi podstawy), zatem:
$$a^2+b^2=c^2 \\
6^2+8^2=c^2 \\
36+64=c^2 \\
c^2=100 \\
c=10[cm]$$

Krok 3. Ustalenie wyglądu bryły po połączeniu graniastosłupów.
Ustalmy jak będzie wyglądać nasza bryła, która powstanie po połączeniu się pierwszego i drugiego graniastosłupa. Skoro mamy otrzymać graniastosłup czworokątny, to te dwa graniastosłupy trzeba będzie połączyć wzdłuż boku o jednakowej mierze, czyli w tym przypadku wzdłuż boku o długości \(10cm\). Każde inne złączenie spowoduje, że w podstawie nie będziemy mieli czworokąta. Wiemy też, że nowo powstała bryła ma wysokość \(10cm\), bo tak wynika z informacji na temat pierwszego graniastosłupa. W związku z tym nasz graniastosłup będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Krok 4. Obliczenie pól podstawy pierwszego i drugiego graniastosłupa.
Pole podstawy nowego graniastosłupa jest sumą pól podstaw pierwszego i drugiego graniastosłupa. Musimy zatem wyliczyć te dwa pola i je ze sobą zsumować.

W pierwszej podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a=10cm\). Pole pierwszego graniastosłupa jest więc proste do policzenia jeśli znamy wzór na pole trójkąta równobocznego \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Wystarczy wtedy podstawić znaną nam miarę o otrzymamy, że:
$$P_{p1}=\frac{10^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{p1}=\frac{100\sqrt{3}}{4} \\
P_{p1}=25\sqrt{3}[cm^2]$$

Niestety w niektórych szkołach ten wzór nie jest omawiamy, ale omawiany jest za to wzór na wysokość trójkąta równobocznego \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) i dzięki niemu także możemy obliczyć pole powierzchni. Obliczmy zatem wysokość naszego trójkąta równobocznego o boku \(a=10cm\):
$$h=\frac{10\cdot\sqrt{3}}{2} \\
h=5\sqrt{3}[cm]$$

Teraz korzystając ze standardowego wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P_{p1}=\frac{1}{2}ah \\
P_{p1}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot5\sqrt{3} \\
P_{p1}=5\cdot5\sqrt{3} \\
P_{p1}=25\sqrt{3}[cm^2]$$

Obliczenie pola powierzchni podstawy drugiego graniastosłupa jest już mniej problematyczne, bo z własności trójkątów prostokątnych wiemy, że przyprostokątne takiego trójkąta są jednocześnie długościami podstawy i wysokości trójkąta, zatem:
$$P_{p2}=\frac{1}{2}ah \\
P_{p2}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8 \\
P_{p2}=3\cdot8 \\
P_{p2}=24[cm^2]$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej graniastosłupa czworokątnego.
Mamy cztery ściany boczne, każda z nich jest prostokątem o wysokości \(10cm\). Zgodnie z naszym rysunkiem możemy zapisać, że:
$$P_{b}=6\cdot10+8\cdot10+10\cdot10+10\cdot10 \\
P_{b}=60+80+100+100 \\
P_{b}=340[cm^2]$$

Krok 6. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa czworokątnego.
Pole podstawy nowo powstałego graniastosłupa to suma obliczonych w czwartym kroku pól \(P_{p1}\) oraz \(P_{p2}\). Pole powierzchni bocznej obliczyliśmy w kroku piątym. Jesteśmy więc gotowi do obliczenia pola powierzchni całkowitej, ale musimy pamiętać o tym, by pole podstawy graniastosłupa czworokątnego pomnożyć przez \(2\), bo graniastosłup ma przecież podstawę dolną i górną. Zatem:
$$P=2\cdot(P_{p1}+P_{p2})+P_{b} \\
P=2\cdot(25\sqrt{3}+24)+340 \\
P=50\sqrt{3}+48+340 \\
P=388+50\sqrt{3}[cm^2]$$