Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2022

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć, musimy przekształcić zapis nierówności. Będziemy dążyć do postaci ogólnej, zatem wszystkie wyrazy musimy przenieść na lewą stronę i poprawnie wymnożyć nawias:
$$x(2x-1)+4\gt8x \\
x(2x-1)+4-8x\gt0 \\
2x^2-x+4-8x\gt0 \\
2x^2-9x+4\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-9,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot2\cdot4=81-32=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)-7}{2\cdot2}=\frac{9-7}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)+7}{2\cdot2}=\frac{9+7}{4}=\frac{16}{4}=4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy otrzymane wyniki na osi liczbowej i rysujemy parabolę. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości większe zera. Patrzymy się zatem co znajduje się nad osią i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie suma przedziałów \(x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(4;+\infty)\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą \(x\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=4\) oraz \(a_{2}=x+4\). To oznacza, że różnica tego ciągu to:
$$r=a_{2}-a_{1} \\
r=x+4-4 \\
r=x$$

Skoro każdy kolejny wyraz jest o \(x\) większy od poprzedniego, to wartość \(a_{3}\) będzie równa:
$$a_{3}=x+4+x=2x+4$$

Suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(16\frac{1}{2}\), zatem:
$$4+x+4+2x+4=16\frac{1}{2} \\
3x+12=16\frac{1}{2} \\
3x=4\frac{1}{2} \\
x=1,5$$

To oznacza, że różnica tego ciągu wynosi \(r=1,5\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą \(n\).
LUB
• Gdy zapiszesz poprawny układ równań z dwiema niewiadomymi.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Liczba wszystkich kul: \(x\)
Liczba białych kul: \(\frac{1}{3}x\)
Liczba czarnych kul: \(\frac{2}{3}x\)

Po dołożeniu jednej kuli białej będziemy mieć:
Liczba wszystkich kul: \(x+1\)
Liczba białych kul: \(\frac{1}{3}x+1\)

Krok 2. Obliczenie liczby kul przed dołożeniem dodatkowej kuli.
Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli będzie zatem równe:
$$\frac{\frac{1}{3}x+1}{x+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{51} \\
\frac{\frac{1}{3}x+1}{x+1}=\frac{17}{51}+\frac{1}{51} \\
\frac{\frac{1}{3}x+1}{x+1}=\frac{18}{51}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$\left(\frac{1}{3}x+1\right)\cdot51=(x+1)\cdot18 \\
17x+51=18x+18 \\
-x=-33 \\
x=33$$

To oznacza, że liczba wszystkich kul przed dołożeniem dodatkowej białej kuli była równa \(33\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu (4^{n}-1)\cdot4^{n}\cdot(4^{n}+1).
LUB
• Gdy uzasadnisz, że dana liczba jest podzielna przez \(4\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie zauważyć, że:
$$64^n-4^n=4^{n}\cdot(16^{n}-1)$$

Wartość \(16^{n}-1\) znajdującą się w nawiasie możemy jeszcze rozpisać zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) jako \((4^{n}-1)(4^{n}+1)\). Otrzymamy wtedy:
$$4^{n}\cdot(16^{n}-1)=4^{n}\cdot(4^{n}-1)(4^{n}+1)$$

Powinniśmy teraz dostrzec, że otrzymaliśmy mnożenie trzech kolejnych liczb naturalnych. Będzie to dobrze widać, gdy zamienimy wyrazy miejscami:
$$(4^{n}-1)\cdot4^{n}\cdot(4^{n}+1)$$

Skoro są to trzy kolejne liczby naturalne, to któraś z nich jest na pewno podzielna przez \(3\). Dodatkowo widzimy, że \(4^{n}\) jest podzielne przez \(4\). Skoro więc ten nasz iloczyn dzieli się przez \(3\) i \(4\), to będzie także podzielny przez iloczyn tych wartości, czyli przez \(12\), co należało właśnie udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że trójkąt \(PCH\) jest prostokątny (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy zapiszesz, że \(|CH|=a\sqrt{2}\) (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy zapiszesz, że trójkąt \(DPH\) jest prostokątny.
2 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz równanie z jedną niewiadomą \(a\) (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(a=\frac{8}{3}\) (patrz: Krok 1.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, iż trójkąt \(PCH\) jest prostokątny. Skoro tak, to pomoże nam tutaj Twierdzenie Pitagorasa. Jeżeli przyjmiemy, że długość krawędzi sześcianu ma długość \(a\), to \(|PC|=\frac{1}{2}a\) natomiast \(|CH|=a\sqrt{2}\) (bo jest to przekątna kwadratu o boku \(a\)). W treści zadania mamy jeszcze podaną długość \(|HP|=4\) (która jest przeciwprostokątną naszego trójkąta), zatem:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+(a\sqrt{2})^2=4^2 \\
\frac{1}{4}a^2+2a^2=16 \\
\frac{9}{4}a^2=16 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9} \\
a^2=\frac{64}{9} \\
a=\sqrt{\frac{64}{9}} \quad\lor\quad a=-\sqrt{\frac{64}{9}} \\
a=\frac{8}{3} \quad\lor\quad a=-\frac{8}{3}$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
$$V=a^3 \\
V=\left(\frac{8}{3}\right)^3 \\
V=\frac{512}{27}=18\frac{26}{27}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(p=6\) lub oś symetrii \(x=6\) (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci kanonicznej typu \(f(x)=ax(x-12)+2\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci iloczynowej typu \(y=a(x−4)(x−8)\) (patrz: Krok 3.).
LUB
• Gdy zapiszesz układ równań, który prowadzi do wyznaczenia współczynników trójmianu lub największej wartości funkcji.
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(a=\frac{1}{16}\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest zawsze parabola. Jedną z własności parabol jest to, że jej wierzchołek znajduje się zawsze w równej odległości od argumentów o jednakowej wartości (zwyczajowo mówimy, że wierzchołek znajduje się dokładnie między miejscami zerowymi, choć ta zależność dotyczy tak naprawdę nie tylko miejsc zerowych).


Możemy więc zapisać, że:
$$p=\frac{0+12}{2} \\
p=\frac{12}{2} \\
p=6$$

Krok 2. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Teraz skorzystamy z dokładnie tej samej własności co przed chwilą, tylko w drugą stronę. Odległość od pierwszego miejsca zerowego do wierzchołka jest taka sama jak od wierzchołka do drugiego miejsca, czyli:
$$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=p \\
\frac{4+x_{2}}{2}=6 \\
4+x_{2}=12 \\
x_{2}=8$$

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając wszystkie miejsca zerowe, możemy przystąpić do zapisania wzoru funkcji w postaci iloczynowej:
$$y=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
y=a(x-4)(x-8)$$

Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Możemy skorzystać z informacji, że np. \(f(0)=2\), czyli że dla argumentu \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość \(y=2\). Podstawiając zatem te współrzędne do wyznaczonej postaci iloczynowej, otrzymamy:
$$2=a\cdot(0-4)\cdot(0-8) \\
2=a\cdot(-4)\cdot(-8) \\
2=32a \\
a=\frac{1}{16}$$

To oznacza, że pełnym wzorem tej funkcji w postaci iloczynowej jest:
$$y=\frac{1}{16}(x-4)(x-8)$$

Krok 4. Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji.
Funkcja ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a\) jest dodatni), więc najmniejsza wartość tej funkcji jest przyjmowana w wierzchołku. Nie będziemy tutaj korzystać ze wzoru na współrzędną \(q\), czyli \(q=\frac{-Δ}{4a}\), bo nie mamy postaci ogólnej. Możemy postąpić sprytniej i obliczyć wartość funkcji dla \(x=6\), czyli właśnie wartość przyjmowaną w wierzchołku:
$$y=\frac{1}{16}\cdot(6-4)\cdot(6-8) \\
y=\frac{1}{16}\cdot2\cdot(-2) \\
y=\frac{1}{16}\cdot(-4) \\
y=-\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę kąta \(ABC\) (patrz: Krok 1.).
LUB
• Gdy obliczysz miarę kąta \(|\sphericalangle CDB|=30°\).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinków \(EB\) oraz \(EC\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinków \(EB\), \(EC\) (patrz: Krok 3.) oraz przekątnej \(BD\) (patrz: Krok 5.).
LUB
• Gdy obliczysz długość jednego z boków \(AB\) lub \(AD\) (patrz: Krok 4.) oraz długość przekątnej \(BD\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie miar kątów.
Możemy skorzystać z własności trapezów, która mówi nam, że kąty przy jednym ramieniu trapezu mają łączną miarę \(180°\). Skoro więc kąt \(BCD\) ma miarę \(120°\), to kąt \(ABC\) będzie miał:
$$|\sphericalangle ABC|=180°-120°=60°$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek odpowiednie kąty, otrzymamy taką oto sytuację:


Wyszło nam, że trójkąt \(EBC\) jest trójkątem prostokątnym o kątach \(30°, 60°, 90°\) i to będzie punkt wyjścia do dalszych obliczeń.

Krok 3. Obliczenie długości odcinków \(EB\) oraz \(EC\).
Z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\) wynika, że, bok \(EB\) będzie miał miarę dwa razy krótszą od przeciwprostokątnej \(BC\), czyli że \(|EB|=4\). Dodatkowo z tych samych własności wynika, że przyprostokątna \(EC\) będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od przyprostokątnej \(EB\), czyli \(|EC|=4\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
Znamy już tak naprawdę wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola trapezu. Dolna podstawa \(AB\) będzie miała długość \(|AB|=8+4=12\), górna podstawa ma długość \(|DC|=8\), a wysokość naszego trapezu to \(|EC|=4\sqrt{3}\). Skoro tak, to:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(12+8)\cdot4\sqrt{3} \\
P=\frac{1}{2}\cdot20\cdot4\sqrt{3} \\
P=10\cdot4\sqrt{3} \\
P=40\sqrt{3}$$

Krok 5. Obliczenie długości przekątnej \(BC\).
Musimy jeszcze obliczyć długość przekątnej \(BC\). Dokonamy tego korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABD\). Możemy zapisać, że:
$$12^2+(4\sqrt{3})^2=|BD|^2 \\
144+16\cdot3=|BD|^2 \\
144+48=|BD|^2 \\
|BD|^2=192 \\
|BD|=\sqrt{192} \quad\lor\quad |BD|=-\sqrt{192}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BD|=\sqrt{192}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|BD|=\sqrt{64\cdot3}=8\sqrt{3}\).