Wykaż, że liczba \((1+2013^2)(1+2013^4)\) jest dzielnikiem liczby:
\(1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7\).
Rozwiązanie:
Najprościej jest to zadanie udowodnić wyłączając wartość \((1+2013)\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7= \\
=1\cdot(1+2013)+2013^2\cdot(1+2013)+2013^4\cdot(1+2013)+2013^6\cdot(1+2013)= \\
=(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot(1+2013)= \\
(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot2014$$
Teraz, wystarczy zauważyć, że:
$$(1+2013^2)(1+2013^4)=1+2013^2+2013^4+2013^6$$
To oznacza, że nasza liczba jest jak najbardziej podzielna przez \((1+2013^2)(1+2013^4)\), a wynikiem tego dzielenia będzie \(2014\).
Odpowiedź:
Udowodniono wyciągając przed nawias odpowiednie czynniki.
Zastanawiam się, skąd nagle się wzięło (1+2013v2)(1+2013v4), skoro było (1+20132+20134+20136)⋅2014. To wygląda jakby gdzieś po drodze zgubił się jakiś czynnik czy coś. Innego wytłumaczenia nie znajduję
Nie nie, nic się nie zgubiło ;)
Mając działanie (1+2013^2+2013^4+2013^6)⋅2014 powinniśmy dostrzec, że to co jest w nawiasie, jest tak naprawdę równe temu co podano w treści zadania, czyli (1+2013^2)(1+2013^4). I faktycznie to jest tyle równe (możesz sobie wymnożyć poszczególne liczby przez siebie) :)