Wykaż, że liczba \((1+2013^2)(1+2013^4)\) jest dzielnikiem liczby:
\(1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7\).
Rozwiązanie:
Najprościej jest to zadanie udowodnić wyłączając wartość \((1+2013)\). Całość obliczeń wygląda następująco:
$$1+2013+2013^2+2013^3+2013^4+2013^5+2013^6+2013^7= \\
=1\cdot(1+2013)+2013^2\cdot(1+2013)+2013^4\cdot(1+2013)+2013^6\cdot(1+2013)= \\
=(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot(1+2013)= \\
(1+2013^2+2013^4+2013^6)\cdot2014$$
Teraz, wystarczy zauważyć, że:
$$(1+2013^2)(1+2013^4)=1+2013^2+2013^4+2013^6$$
To oznacza, że nasza liczba jest jak najbardziej podzielna przez \((1+2013^2)(1+2013^4)\), a wynikiem tego dzielenia będzie \(2014\).
Odpowiedź:
Udowodniono wyciągając przed nawias odpowiednie czynniki.
Dodaj komentarz