Logarytmy – zadania maturalne

\(x=3^9\)

Wynik logarytmu (w tym przypadku \(9\)) mówi nam do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę logarytmu (w tym przypadku \(3\)), aby otrzymać liczbę logarytmowaną (czyli nasz \(x\)). W tablicach znajdziemy nawet matematyczny zapis tej definicji:
$$\log_{a}c=b \Longleftrightarrow a^b=c$$

Podstawiając wprost liczby z naszego zadania (\(a=3\), \(b=9\) oraz \(c=x\)) widzimy wyraźnie, że poszukiwaną odpowiedzią jest \(x=3^9\).

\(2\)

Skorzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie \(\log_{a}x+\log_{a}y=\log_{a}(x\cdot y)\), stąd też:
$$\log_{4}8+\log_{4}2=\log_{4}(8\cdot2)=\log_{4}16=2$$

\(2\)

Spróbujmy obliczyć każdy z logarytmów oddzielnie:
$$\log_{3}9=2\text{, bo }3^2=9 \\
\log_{3}1=0\text{, bo }3^0=1$$

Zatem:
$$\log_{3}9-\log_{3}1=2-0=2$$

Moglibyśmy też zastosować tutaj wzór na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y} \\
\log_{3}9-\log_{3}1=\log_{3}\frac{9}{1}=\log_{3}9=2$$

\(-2\)

Krok 1. Obliczenie wartości poszczególnych logarytmów.
$$\log_{5}5=1\text{, bo }5^1=5 \\
\log_{5}125=3\text{, bo }5^3=125$$

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
$$\log_{5}5-\log_{5}125=1-3=-2$$

\(x\gt\frac{1}{2}\)

Zgodnie z definicją logarytmów \(\log_{a}(b)\) musi mieć współczynnik \(b\gt0\). To oznacza, że w naszym przypadku musimy ułożyć i rozwiązać następującą nierówność:
$$2x-1\gt0 \\
2x\gt1 \\
x\gt\frac{1}{2}$$

\(-3\)

Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie - do jakiej liczby trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(\frac{1}{27}\). Jeśli dobrze orientujemy się w działaniach na potęgach to dobrze wiemy, że skoro wynik jest w formie ułamka to na pewno będzie to liczba ujemna, a dokładnie tą liczbą będzie \(-3\), bo:
$$3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}$$

\(3\)

W tym zadaniu możemy obliczyć każdy z logarytmów oddzielnie, albo możemy też skorzystać ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$

Licząc z powyższego wzoru otrzymamy:
$$\log_{3}27-\log_{3}1=\log_{3}\frac{27}{1}=\log_{3}27=3$$

Licząc każdy logarytm oddzielnie otrzymamy:
$$\log_{3}27=3\text{, bo }3^3=27 \\
\log_{3}1=0\text{, bo }3^0=1 \\
\log_{3}27-\log_{3}1=3-0=3$$

\(-1\)

Rozpatrzmy sobie oddzielnie poszczególne logarytmy, które wchodzą w skład różnicy z treści zadania:
a) \(log100\) - jeśli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie w podstawie mamy liczbę \(10\). To oznacza, że tak naprawdę \(log100=\log_{10}100\). Musimy sobie teraz odpowiedzieć na pytanie: do której potęgi trzeba podnieść \(10\), aby otrzymać \(100\)? Oczywiście do drugiej, bo \(10^2=100\). W związku z tym \(log100=2\).

b) \(\log_{2}8\) - do której potęgi należy podnieść \(2\), aby otrzymać \(8\)? Oczywiście do potęgi trzeciej, bo \(2^3=8\). W związku z tym \(\log_{2}8=3\).

Rozwiązaniem naszego działania wygląda więc następująco:
$$log100-\log_{2}8=2-3=-1$$

\(2\)

Skorzystamy tutaj ze wzoru na różnicę logarytmów:
$$\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c} \\
\log_{2}20-\log_{2}5=\log_{2}\frac{20}{5}=\log_{2}4=2$$

\(1\)

W tym zadaniu będziemy musieli skorzystać ze wzorów na sumę i różnicę logarytmów.
$$\log_{a}b+\log_{a}c=\log_{a}(b\cdot c) \\
\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}$$

Trzeba też pamiętać, że skoro logarytm nie ma wpisanej podstawy (tak jak tutaj) to domyślnie znajduje się tam wartość \(10\). Całość obliczeń będzie więc wyglądać następująco:
$$log4+log5-log2=log(4\cdot5)-log2= \\
=log20-log2=log\frac{20}{2}=log10=1$$

\(1\)

Skorzystamy tutaj ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
$$\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c} \\
\log_{2}100-\log_{2}50=\log_{2}\frac{100}{50}=\log_{2}2=1$$

\(\frac{7}{3}\)

Krok 1. Obliczenie wartości logarytmu.
Najpierw obliczmy wartość \(\log_{8}16\). Z definicji logarytmu wiemy, że:
$$\log_{8}16=x \Longleftrightarrow 8^{x}=16$$

Widzimy wyraźnie, że wynik tego logarytmu nie jest liczbą całkowitą, bo nie istnieje taka liczba całkowita, do której można podnieść liczbę \(8\), by otrzymać \(16\). Przykładowo \(8^1=8\), natomiast \(8^2=64\). Wynik naszego logarytmu jest więc gdzieś pomiędzy jedynką i dwójką (nawet możemy stwierdzić, że jest bliżej jedynki).

Skoro nie obliczymy tego logarytmu w pamięci to musimy zamienić ósemkę i szesnastkę na potęgi o wspólnej podstawie:
$$8^{x}=16 \\
(2^3)^x=2^4 \\
2^{3x}=2^4$$

Po doprowadzeniu liczb do wspólnej podstawy możemy teraz porównać wykładniki potęg:
$$3x=4 \\
x=\frac{4}{3}$$

W ten sposób udało nam się obliczyć, że \(\log_{8}16=\frac{4}{3}\).

Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
$$\log_{8}16+1=\frac{4}{3}+\frac{3}{3}=\frac{7}{3}$$

Podpowiedź:
Kluczowe jest wyliczenie logarytmu i wiele osób ma z tym problem. Pokażę więc jak drogą dedukcji i eliminacji można rozwiązać to zadanie. Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie do jakiej potęgi trzeba podnieść \(8\), aby otrzymać \(16\). No na pewno nie do potęgi pierwszej, bo \(8^1=8\), ani nie do drugiej, bo \(8^2=64\). Widzimy, że wartość tego logarytmu musi być czymś pomiędzy jedynką i dwójką. Do tego mamy dodać jeszcze \(1\), więc wynik powinien być większy niż \(2\) i mniejszy niż \(3\). Taki wynik jest tylko w ostatniej odpowiedzi i w ten oto sposób nawet nie wykonując obliczeń możemy zaznaczyć prawidłową odpowiedź.

\(c\lt a\lt b\)

Obliczmy wartość każdej z liczb:
\(a=\log_{3}\frac{1}{9}=-2 \text{, bo } 3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\)
\(b=\log_{3}3=1 \text{, bo } 3^1=3\)
\(c=\log_{3}\frac{1}{27}=-3 \text{, bo } 3^{-3}=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27}\)

$$-3\lt-2\lt1 \\
c\lt a\lt b$$

\(3^c=2\)

Zgodnie z definicją logarytmu:
$$\log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b$$

Podstawiając do tej definicji wartości z naszego zadania otrzymamy, że:
$$3^c=2$$

\(2\log_{4}{3}\)

Tak naprawdę to zadanie można było rozwiązać bez żadnych obliczeń, bowiem skoro wynik logarytmu ma spełniać równanie \(4^x=9\), to zgodnie z definicją logarytmu w jego podstawie musi znaleźć się liczba \(4\). Taką sytuację mamy tylko i wyłącznie w ostatniej odpowiedzi.

Gdybyśmy tego nie zauważyli, to moglibyśmy skorzystać z następującego wzoru z tablic matematycznych:
$$\color{blue}{a}^{\color{orange}{\log_{a}c}}=\color{green}{c}$$

Porównując to bezpośrednio do naszego zapisu \(\color{blue}{4}^\color{orange}{x}=\color{green}{9}\) mamy:
$$a=4,\;\log_{a}c=x,\;c=9 \\
\text{zatem:}\\
x=\log_{a}c=\log_{4}9$$

Takiej odpowiedzi jednak nie mamy w naszym zadaniu, dlatego otrzymany wynik musimy przekształcić do formy przedstawionej w odpowiedziach:
$$\log_{4}9=\log_{4}3^2=2\log_{4}{3}$$

\(-\frac{1}{3}\)

Krok 1. Obliczenie wartości liczb \(b\) oraz \(c\):
$$b=\log_{\frac{1}{4}}64=-3 \\
c=\log_{\frac{1}{3}}27=-3$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(abc\).
$$abc=-\frac{1}{27}\cdot(-3)\cdot(-3)=-\frac{1}{3}$$

\(-2\)

Obliczmy sobie każdy z logarytmów oddzielnie:
$$\log_{5}0,04=\log_{5}\frac{4}{100}=\log_{5}\frac{1}{25}=-2\text{, bo }5^{-2}=\frac{1}{25} \\
\log_{25}5=\frac{1}{2}\text{, bo }25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5 \\
\log_{25}1=0\text{, bo }25^0=1$$

Zatem wartość całego wyrażenia jest równa:
$$-2-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot0=-2-0=-2$$

\(2\)

W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów:
$$r\cdot \log_{a}x=\log_{a}x^r \\
\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}\frac{b}{c}$$

Zatem:
$$2\log_{5}10-\log_{5}4=\log_{5}10^2-\log_{5}4=\log_{5}100-\log_{5}4= \\
=\log_{5}\frac{100}{4}=\log_{5}25=2$$

\(3\)

Ten logarytm jest najprościej obliczyć zamieniając wartość \(2\sqrt{2}\) na iloczyn trzech pierwiastków \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\). Wtedy:
$$\log_{\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})}=\log_{\sqrt{2}}{(\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{2})}=\log_{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})}^3=3$$

\(3\)

Zawarte w tym zadaniu logarytmy najprościej jest obliczyć zamieniając odpowiednio \(729\) oraz \(36\) na potęgi liczb naturalnych, które znalazły się w podstawie logarytmu:
$$729=3^6 \\
36=6^2$$

To oznacza, że całość logarytmu możemy rozwiązać w następujący sposób:
$$\frac{\log_{3}729}{\log_{6}36}=\frac{\log_{3}3^6}{\log_{6}6^2}=\frac{6}{2}=3$$

\(\log_{2}\frac{9}{25}\)

W tym zadaniu skorzystamy z dwóch wzorów:
$$r\cdot \log_{a}x=\log_{a}x^r \\
\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\frac{x}{y}$$

Zatem:
$$2\log_{2}3-2\log_{2}5=\log_{2}3^2-\log_{2}5^2= \\
=\log_{2}9-\log_{2}25=\log_{2}\frac{9}{25}$$

\(A=10^{2,2}cm\). Amplituda jest większa niż \(100cm\).

Krok 1. Zapisanie wzoru na amplitudę z pominięciem logarytmu.
Największą trudnością w tym zadaniu jest chyba pozbycie się z zapisu tego logarytmu. Musisz pamiętać, że skoro logarytm nie ma zapisanej podstawy to znaczy że jest ona równa \(10\) (czyli jest to tak naprawdę \(\log_{10}\)). Rozwiązaniem naszego logarytmu jest liczba \(R\) (czyli stopień w skali Richtera), a to oznacza, że zgodnie z definicją logarytmu:
$$log_{a}b=c \Longleftrightarrow a^c=b \\
\text{zatem:} \\
log_{10}\frac{A}{A_{0}}=R \Longleftrightarrow 10^R=\frac{A}{A_{0}}$$

Krok 2. Obliczenie amplitudy trzęsienia ziemi.
Wystarczy już tylko podstawić dane z treści zadania do naszego wzoru i tym samym wyliczyć pożądaną wartość amplitudy, wykonując poprawnie działania na potęgach:
$$10^R=\frac{A}{A_{0}} \\
10^R\cdot A_{0}=A \\
10^{6,2}\cdot10^{-4}=A \\
A=10^{6,2+(-4)} \\
A=10^{2,2}[cm]$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Musimy teraz oszacować, czy otrzymana amplituda jest większa, czy mniejsza niż \(100cm\). Skoro \(100=10^2\), a my w naszych obliczeniach otrzymaliśmy \(10^{2,2}\), to z całą pewnością amplituda jest większa niż \(100cm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz że \(A=10^{6,2}\cdot10^{-4}\) (patrz: Krok 2.) lub analogicznie \(10^{6,2}=\frac{A}{10^{-4}}\).
ALBO
• Gdy korzystając z własności logarytmów zapiszesz, że \(6,2=log A-log10^{-4}\) lub \(6,2=log A+log10^{4}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.