W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny

W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa \(6\). Oblicz obwód tego trapezu.

Rozwiązanie:
Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego.

w trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go

Z rysunku pomocniczego widzimy, że dzięki temu iż przekątna utworzyła nam trójkąt równoboczny to znamy już tak naprawdę trzy długości (z czego dwie przydadzą nam się bezpośrednio do obliczenia obwodu):
$$|AB|=|AC|=|BC|=6$$

Pozostaje nam do rozstrzygnięcia jaka jest długość boku \(DA\) oraz \(DC\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(DA\).

Długość tego boku jest identyczna co wysokość naszego trójkąta równoramiennego, czyli \(|DA|=|CE|\). Znając długość boku trójkąta równobocznego możemy szybko obliczyć wysokość figury.
$$|DA|=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(DC\).

Długość boku \(DC\) możemy obliczyć tak naprawdę na dwa sposoby. Jeśli pamiętamy, że wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na dwie równe części, to po wyprowadzeniu wysokości z wierzchołka \(C\) otrzymamy bok \(AE\), którego długość jest równa \(3\) (patrz rysunek). Analogicznie więc bok \(DC\) ma długość \(3\).

matura z matematyki

Jeśli nie widzimy tej zależności, to możemy obliczyć długość boku \(DC\) z Twierdzenia Pitagorasa, bo długość \(DA\) i \(CA\) jest nam przecież znana.
$$a^2+b^2=c^2 \\
|DC|^2+|DA|^2=|CA|^2 \\
|DC|^2+(3\sqrt{3})^2=6^2 \\
|DC|^2+(9\cdot3)=36 \\
|DC|^2+27=36 \\
|DC|^2=9 \\
|DC|=3 \quad\lor\quad |DC|=-3$$

(wartość ujemną oczywiście odrzucamy)

Krok 4. Obliczenie długości obwodu.

Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc bez problemu obliczymy długość naszego obwodu:
$$Obw=6+6+3+3\sqrt{3}=15+3\sqrt{3}$$

Odpowiedź:

Obwód trapezu jest równy \(15+3\sqrt{3}\).

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!