Równanie prostej – zadania maturalne

A

Do równania z treści zadania musimy podstawić współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-1\) i rozwiązać powstałe równanie:
$$y=-4x+(2m-7) \\
-1=-4\cdot2+(2m-7) \\
-1=-8+2m-7 \\
-1=-15+2m \\
2m=14 \\
m=7$$

B

Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć współczynniki kierunkowe (czyli współczynniki \(a\)). Stąd też wiemy, że współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej opisanej w zadaniu będzie równy \(a=-3\).

A

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przed dwa punkty \(A=(x_{1};y_{1})\) oraz \(B=(x_{2};y_{2})\) wyraża się wzorem:
$$a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

Mamy wszystkie dane, więc wystarczy podstawić odpowiednie liczby i w ten sposób obliczymy współczynnik \(a\):
$$a=\frac{3-1}{3-6}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$$

D

Z własności figur geometrycznych wiemy, że trapez ma podstawy równoległe względem siebie. Wiemy też, że aby dwie proste opisane wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). W naszym przypadku \(a=2\), więc pasującą odpowiedzią jest tylko i wyłącznie ostatnia prosta.

A

Krok 1. Określenie współczynnika \(a\).



Z rysunku wynika, że nasza funkcja jest malejąca, tak więc współczynnik \(a\) jest na pewno mniejszy od zera. To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(A\) lub \(C\).

Krok 2. Określenie współczynnika \(b\).
Tu z pomocą przyjdą nam współrzędne punktu \(L\). Miejsce przecięcia się prostej z osią \(Oy\) mówi nam o tym jaka jest wartość współczynnika \(b\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \(L=(0,1)\), to \(b=1\).

Prawidłowa jest więc odpowiedź \(A\).

A

Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(M=(x_{M};y_{M})\) oraz \(N=(x_{N};y_{N})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{M})(x_{N}-x_{M})-(y_{N}-y_{M})(x-x_{M})=0 \\
(y-(-5))(-1-3)-(7-(-5))(x-3)=0 \\
(y+5)\cdot(-4)-12\cdot(x-3)=0 \\
-4y-20-12x+36=0 \\
-4y-12x+16=0 \\
-4y=12x-16 \quad\bigg/:(-4) \\
y=-3x+4$$

C

Dosyć istotną informację przydatną do rozwiązania tego zadania musimy odczytać bezpośrednio z czterech proponowanych odpowiedzi. Widzimy, że każda prosta jest opisana wzorem \(y=2x+b\) i to właśnie ten współczynnik \(b\) jest zmienny dla każdej z odpowiedzi. Naszym zadaniem jest więc obliczyć wartość tego współczynnika. Aby tego dokonać do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy sobie współrzędne \(x=m-1\) oraz \(y=2m+5\).
$$y=2x+b \\
2m+5=2(m-1)+b \\
2m+5=2m-2+b \\
b=7$$

D

Na podstawie rysunku spróbujmy określić wzór funkcji w postaci ogólnej \(y=ax+b\), którą następnie odpowiednio przekształcimy, tak aby dopasować się do naszych odpowiedzi.

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika \(b\).
Zaczniemy od współczynnika \(b\), który możemy od razu odczytać z wykresu. Współczynnik \(b\) mówi nam w którym miejscu funkcja liniowa przetnie oś \(Oy\). W naszym przypadku funkcja przecina oś \(Oy\) dla \(y=2\), zatem \(b=2\).

Wiemy już, że nasza funkcja ma postać \(y=ax+2\).

Krok 2. Obliczenie współczynnika \(a\).
Wykres przecina oś \(Ox\) w punkcie \((4;0)\), czyli dla \(x=4\) funkcja przyjmuje wartość \(y=0\). Podstawmy te współrzędne do wzoru zapisanego w pierwszym kroku i tym samym wyznaczmy wartość współczynnika \(a\):
$$y=ax+2 \\
0=a\cdot4+2 \\
4a=-2 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Wskazanie równania prostej.
Nasza prosta przyjmuje wzór \(y=-\frac{1}{2}x+2\), jednak nie mamy takiej odpowiedzi w proponowanych. Musimy więc odpowiednio przekształcić to równanie (przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę), tak aby dopasować się do odpowiedzi:
$$y=-\frac{1}{2}x+2 \\
\frac{1}{2}x+y-2=0 \quad\bigg/\cdot2 \\
x+2y-4=0$$

B

Do zapisania równania prostej (a tym samym do wyznaczenia współczynnika kierunkowego) posłużymy się współrzędnymi punktów \(P\) oraz \(Q\), które możemy odczytać z rysunku. Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(P=(x_{P};y_{P})\) oraz \(Q=(x_{Q};y_{Q})\) możemy opisać następującym równaniem:
$$(y-y_{P})(x_{Q}-x_{P})-(y_{Q}-y_{P})(x-x_{P})=0 \\
(y-5)(5-2)-(3-5)(x-2)=0 \\
(y-5)\cdot3-(-2)\cdot(x-2)=0 \\
3y-15-(-2x+4)=0 \\
3y-15+2x-4=0 \\
3y+2x-19=0 \\
3y=-2x+19 \quad\bigg/:3 \\
y=-\frac{2}{3}x+\frac{19}{3}$$

Współczynnik kierunkowy tej prostej jest w takim razie równy \(a=-\frac{2}{3}\).