Matura podstawowa Równanie prostej – zadania maturalne Równanie prostej - zadania Zadanie 1. (1pkt) Prosta o równaniu \(y=-4x+(2m-7)\) przechodzi przez punkt \(A=(2,-1)\). Wtedy: A) \(m=7\) B) \(m=2\frac{1}{2}\) C) \(m=-\frac{1}{2}\) D) \(m=-17\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź \(m=7\) Wyjaśnienie: Do równania z treści zadania musimy podstawić współrzędne punktu \(A\), czyli \(x=2\) oraz \(y=-1\) i rozwiązać powstałe równanie: $$y=-4x+(2m-7) \\ -1=-4\cdot2+(2m-7) \\ -1=-8+2m-7 \\ -1=-15+2m \\ 2m=14 \\ m=7$$ Zadanie 2. (1pkt) Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu \(y=-3x+5\) jest równy: A) \(-\frac{1}{3}\) B) \(-3\) C) \(\frac{1}{3}\) D) \(3\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź \(-3\) Wyjaśnienie: Aby dwie proste były względem siebie równoległe to muszą mieć współczynniki kierunkowe (czyli współczynniki \(a\)). Stąd też wiemy, że współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej opisanej w zadaniu będzie równy \(a=-3\). Zadanie 3. (1pkt) Dane są punkty \(A=(6,1)\) i \(B=(3,3)\). Współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) jest równy: A) \(-\frac{2}{3}\) B) \(-\frac{3}{2}\) C) \(\frac{3}{2}\) D) \(\frac{2}{3}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź \(-\frac{2}{3}\) Wyjaśnienie: Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przed dwa punkty \(A=(x_{1};y_{1})\) oraz \(B=(x_{2};y_{2})\) wyraża się wzorem: $$a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$ Mamy wszystkie dane, więc wystarczy podstawić odpowiednie liczby i w ten sposób obliczymy współczynnik \(a\): $$a=\frac{3-1}{3-6}=\frac{2}{-3}=-\frac{2}{3}$$ Zadanie 4. (1pkt) Punkt \(C=(0,2)\) jest wierzchołkiem trapezu \(ABCD\), którego podstawa \(AB\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=2x-4\). Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę \(CD\). A) \(y=\frac{1}{2}x+2\) B) \(y=-2x+2\) C) \(y=-\frac{1}{2}x+2\) D) \(y=2x+2\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź \(y=2x+2\) Wyjaśnienie: Z własności figur geometrycznych wiemy, że trapez ma podstawy równoległe względem siebie. Wiemy też, że aby dwie proste opisane wzorem \(y=ax+b\) były względem siebie równoległe, to muszą mieć identyczny współczynnik \(a\). W naszym przypadku \(a=2\), więc pasującą odpowiedzią jest tylko i wyłącznie ostatnia prosta. Zadanie 5. (1pkt) Na prostej o równaniu \(y=ax+b\) leżą punkty \(K=(1,0)\) i \(L=(0,1)\). Wynika stąd, że: A) \(a=-1\) i \(b=1\) B) \(a=1\) i \(b=-1\) C) \(a=-1\) i \(b=-1\) D) \(a=1\) i \(b=1\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź \(a=-1\) i \(b=1\) Wyjaśnienie: Krok 1. Określenie współczynnika \(a\). Z rysunku wynika, że nasza funkcja jest malejąca, tak więc współczynnik \(a\) jest na pewno mniejszy od zera. To oznacza, że prawidłową odpowiedzią jest \(A\) lub \(C\). Krok 2. Określenie współczynnika \(b\). Tu z pomocą przyjdą nam współrzędne punktu \(L\). Miejsce przecięcia się prostej z osią \(Oy\) mówi nam o tym jaka jest wartość współczynnika \(b\). Skoro prosta przecina oś \(Oy\) w punkcie \(L=(0,1)\), to \(b=1\). Prawidłowa jest więc odpowiedź \(A\). Zadanie 6. (1pkt) Dane są punkty \(M=(3,-5)\) oraz \(N=(-1,7)\). Prosta przechodząca przez te punkty ma równanie: A) \(y=-3x+4\) B) \(y=3x-4\) C) \(y=-\frac{1}{3}x+4\) D) \(y=3x+4\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź \(y=-3x+4\) Wyjaśnienie: Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(M=(x_{M};y_{M})\) oraz \(N=(x_{N};y_{N})\) możemy opisać następującym równaniem: $$(y-y_{M})(x_{N}-x_{M})-(y_{N}-y_{M})(x-x_{M})=0 \\ (y-(-5))(-1-3)-(7-(-5))(x-3)=0 \\ (y+5)\cdot(-4)-12\cdot(x-3)=0 \\ -4y-20-12x+36=0 \\ -4y-12x+16=0 \\ -4y=12x-16 \quad\bigg/:(-4) \\ y=-3x+4$$ Zadanie 7. (1pkt) Na której z podanych prostych leżą wszystkie punkty o współrzędnych \((m-1;\;2m+5)\), gdzie \(m\) jest dowolną liczbą rzeczywistą? A) \(y=2x+5\) B) \(y=2x+6\) C) \(y=2x+7\) D) \(y=2x+8\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź \(y=2x+7\) Wyjaśnienie: Dosyć istotną informację przydatną do rozwiązania tego zadania musimy odczytać bezpośrednio z czterech proponowanych odpowiedzi. Widzimy, że każda prosta jest opisana wzorem \(y=2x+b\) i to właśnie ten współczynnik \(b\) jest zmienny dla każdej z odpowiedzi. Naszym zadaniem jest więc obliczyć wartość tego współczynnika. Aby tego dokonać do wzoru \(y=2x+b\) podstawimy sobie współrzędne \(x=m-1\) oraz \(y=2m+5\). $$y=2x+b \\ 2m+5=2(m-1)+b \\ 2m+5=2m-2+b \\ b=7$$
Dodaj komentarz